双曲线：2018年全国卷A题11

已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{3}-y^2 =1$ , $O$ 为坐标原点， $F$ 为 $C$ 的右焦点，过 $F$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线的交点分别为 $M,N$ . 若 $\triangle OMN$ 为直角三角形，则 $|MN| =$

$A.\dfrac{3}{2} \qquad B.3 \qquad C.2\sqrt{3} \qquad D.4$

【解析】

∵ $a^2=3,b^2=1$ ,

∴ $c^2=4,c=2$ , $|OF|=2$ ,

∴ 两条渐近线的方程为 $y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}x$

两条渐近线的倾角为 $30°,150°$ ,

两条渐近线之间的夹角为 $60°$ .

假定 $\angle OMF=90°$ , 则 $|OM|=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot |OF|=\sqrt{3}$ ,

$|MN|=\sqrt{3} \cdot |OM| = 3$

结论：选项 B 正确。

【提炼与提高】

此题并不复杂，但却体现出了当前高考命题的方向：综合性。

如何综合应用解析几何、平面几何与三角函数的知识，就可以避开繁琐的计算，迅速得出结论。

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