双曲线：2018年全国卷A题11

双曲线：2018年全国卷A题11

已知双曲线 C:\dfrac{x^2}{3}-y^2 =1, O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M,N. 若 \triangle OMN 为直角三角形，则 |MN| =

A.\dfrac{3}{2} \qquad B.3 \qquad C.2\sqrt{3} \qquad D.4

【解析】

∵ a^2=3,b^2=1,

∴ c^2=4,c=2, |OF|=2,

∴ 两条渐近线的方程为 y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}x

两条渐近线的倾角为 30°,150°,

两条渐近线之间的夹角为 60°.

假定 \angle OMF=90°, 则 |OM|=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot |OF|=\sqrt{3},

|MN|=\sqrt{3} \cdot |OM| = 3

结论：选项 B 正确。

【提炼与提高】

此题并不复杂，但却体现出了当前高考命题的方向：综合性。

如何综合应用解析几何、平面几何与三角函数的知识，就可以避开繁琐的计算，迅速得出结论。

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