二维随机变量及其分布函数

二维随机向量及其分布函数

分布函数

定义3.1.1

设 $(X,Y)$ 是二维随机向量，对于任意实数x，y，称二元函数

$F(x,y) = P\{X \leq x, Y \leq y \}$

为 $(X,Y)$ 的分布函数

性质

$F(x,y)$ 是变量x，y的不减函数
即对于任意固定的y，当 $x_1 < x_2$ 时， $F(x_1,y) \leq F(x_2, y)$
对于任意固定的x，当 $y_1 < y_2$ 时， $F(x,y_1) \leq F(x,y_2)$
$0 \leq F(x,y) \leq 1,\quad -\infty < x < +\infty, -\infty < y < +\infty$
对于固定的y
$F(-\infty, y) = \lim_{x \rightarrow -\infty}F(x,y) = 0$
对于固定的x
$F(x, -\infty) = \lim_{y \rightarrow -\infty}F(x,y) = 0$
还有
$F(-\infty, -\infty) = \lim_{x,y \rightarrow -\infty}F(x,y) = 0$

$F(+\infty, +\infty) = \lim_{x,y \rightarrow +\infty}F(x,y) = 1$

二维离散型随机向量

定义3.2.1
设二维离散型随机向量 $(X,Y)$ 所有可能的取值为 $(x_i,y_i)，i = 1,2,\cdots, j = 1,2,\cdots$
$P\{X = x_i, Y_i\} = p_{ij},\quad i = 1,2,\cdots,\quad j = 1,2,\cdots$

$\begin{array}{c|lcr} x\y & y_1 &y_2&\cdots & y_j & \cdots\\ \hline x_1 & p_{11} &p_{12}&\cdots & p_{1j} & \cdots\\ x_2 & p_{21} &p_{22}&\cdots & p_{2j} & \cdots\\ \vdots& \vdots &\vdots&\cdots &\vdots & \cdots\\ x_i & p_{i1} &p_{i2}&\cdots & p_{ij} & \cdots\\ \vdots& \vdots &\vdots&\cdots & \vdots & \cdots\\ \end{array}$

显然有：

$p_{ij} \geq 0, \quad i = 1,2,\cdots, \quad j = 1,2,\cdots$
$\sum_{i}\sum_{j}p_{ij} = 1$

二维连续型随机向量

定义3.3.1
对于二维随机向量 $(X,Y),F(x,y)$ 为其分布函数，若存在非负函数 $f(x,y)$ 使得对任意实数x,y总有

$F(x,y) = \int^{y}_{-\infty}\int^{x}_{-\infty}f(u,v)dudv$

则称(X,Y)是二维连续型随机向量，称 $f(x,y)$ 为二维随机向量(X,Y)的概率密度函数，简称概率密度

性质

$f(x,y)\geq 0, \quad -\infty < x < +\infty, \quad -\infty < y < +\infty$
$\int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dxdy = 1$
若 $f(x,y)$ 在点(x,y)出连续，则
$\frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x \partial y} = f(x,y)$
设D是平面上的任意区域，则点(X,Y)落在D内的概率
$P\{(X,Y) \in D\} = \int\int_D f(x,y)dxdy$

边缘分布函数

$F_X(x) = P\{X \leq x\}=P \{ X \leq x, Y < +\infty \} = F(x,+\infty)$
$F_Y(y) = P\{Y \leq y\}=P \{ X < +\infty , Y \leq y \} = F(+\infty,y)$

二维离散型随机向量的边缘概率分布

$p_{i \cdot} = P\{X=x_i\} = \sum_{j}p_{ij},\quad i=1,2,\cdots$
$p_{\cdot j} = P\{Y=y_i\} = \sum_{i}p_{ij},\quad j=1,2,\cdots$

二维连续型随机向量的边缘概率分布

$F_X(x) = F(x,+\infty)=\int^{+\infty}_{-\infty}\int^{x}_{-\infty}f(u,v)dudv=\int^{x}_{-\infty}\left[\int^{+\infty}_{-\infty}f(u,v)dv\right]du$
记
$f_X(u) = \int^{+\infty}_{-\infty}f(u,v)dv$
有
$F_X(x) = \int^x_{-\infty}f_X(u)du$

由上可得：
$f_X(x) = \int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dy$
$f_Y(y) = \int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)dx$

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