1 引言
18世纪时科学家为了研究物理问题提出了常微分方程，后来为了研究一些更为复杂的物理现象得到了偏微分方程，到了19世纪，数学家变量分离解偏微分方程后出现了解常微分方程的问题。此外，因为偏微分方程用各种不同坐标系表示，所以得到的常微分方程是全新的，且不能用封闭形式解出。数学家采用无穷级数解，今天称为特殊函数或高级超越函数，与sinx,e^x,log x等初等超越函数区分。
之后人们对扩张的常微分方程类做了很多研究，并展开了深刻的理论研究，这些研究把19世纪的常微分方程工作和18世纪做了一个区分。19世纪的常微分方程和偏微分方程一样也有诸多成果。
2 级数解和特殊函数
前面讲到变量分离解偏微分方程后要解常微分方程，人们不怎么担心解的存在性和解应具有的形式，而转向无穷级数的方法。变量分离得到的常微分方程中最重要的是贝塞尔方程，其中n是参数，n和x都可以是复的。不过当时贝塞尔本人（数学家兼柯尼斯堡天文台台长，1784-1846)认为n与x都是实的。早在1703年伯努利就曾和莱布尼茨提到这个方程，此后丹尼尔伯努利和欧拉也聊过，在傅里叶和泊松的著作中也出现过。贝塞尔研究天体运动时对这个方程解做了最早的系统性研究。对每个n这个方程有两个独立解，今天记为Jn(x)和Yn(x)，分别称为第一类和第二类贝塞尔函数。1816年起，贝塞尔研究该方程，首先（对整数n）给出积分关系式
,还得到级数
1818年贝塞尔证明Jn(x)有无穷多个实零点，1824年他给出递推公式和一些与第一类贝塞尔函数有关的关系式。后来C.J.Lommel等人把贝塞尔级数推广到n和x取复数。
前面说到二阶方程应当有两个独立解，当n不为整数时，第二个解是；C.G.诺伊曼找到了n为整数时的第二个解，不过今天普遍采用赫尔曼·汉克尔（Hermann Hankel，1839-1873）的公式，即
许多数学家（一般是搞天体力学的）也独立得到了贝塞尔函数和有关表达式。
勒让德和拉普拉斯早已引入勒让德多项式或单变量球函数和两个自变量的球面函数。勒让德多项式满足勒让德微分方程，这个方程是对以球坐标表示的位势方程进行分离变量得到的。1883年剑桥校务委员Robert Murphy在一本教科书内收录了勒让德多项式的老结论，并得出了新的结论，他证明了“任何”函数通过逐项积分和正交性质（积分定理），可以按Pn(x)展开。
Heine在论述旋转椭圆体外部的位势问题和同心旋转椭球面之间壳体的位势问题时引入了第二类球面调和函数Qn(x)，为勒让德方程提供了第二个独立解。勒让德函数和贝塞尔函数一样扩展到了复数的n和x，并有若干其它表达式和有关关系式。
特殊函数作为常微分方程的级数解出现，1812年高斯在一篇关于超几何级数的论文中推进了其研究。之前提到欧拉已研究过超几何方程及其级数解。
高斯认识到对特殊值的α、β、γ，该级数包括了几乎当时所有已知的初等函数和许多类似贝塞尔函数、球函数的高级超越函数。除了证明级数性质外，高斯还建立了著名的关系式：
他还建立了级数的收敛性，记号F(α,β,γ;x)也是他发明的。
另一类特殊函数是由拉梅引入的。之前提到拉梅研究椭圆内稳态的热分布时，用椭球坐标ρ,μ,ν分离了拉普拉斯方程，以变量ρ为例得到常微分方程
h^2和k^2是坐标曲面族方程中的参数，p和n则是常数，这个方程称为拉梅微分方程，解E(ρ)称为拉梅函数或椭球调和函数，E(ρ)有以下四类形式：1)；2)对1)式乘上
；3)对1)式乘上
；4)对1)同时乘上
和
两个因子。对n的给定值，E(ρ)个数是2n+1。
刘维尔和Heine引入了拉梅方程的第二个解，称为第二类拉梅函数：
Mathieu关于椭圆薄膜振动的工作和椭圆柱位势问题出现了微分方程：
椭圆坐标与直角坐标相联系：x=hcosξcosη，y=hsinξsinη，其中x=±h,y=0是椭圆坐标系中同焦椭圆族和双曲线族中所有椭圆和双曲线的焦点。Mathieu和Heine首先得到解的级数表达式，后来他们企图固定参数a，得到一类以2π为周期的解。寻找周期解对物理应用很重要，因此整个19世纪都在找周期解。1883年弗洛凯(Gaston Floquet)讨论了n阶线性微分方程（系数有同一周期ω）周期解的存在性及其性质。确定解的普遍性质后，人们努力寻找求解方法，但没能发现普遍方法。
1868年，安里西·韦伯(1842-1913)引入了一类特殊函数，他对两抛物线围成的区域内积分Δu+k^2u=0感兴趣，把直角坐标变换到抛物线坐标（椭圆坐标的极限情形），用分离变量法从简化后的波动方程得到常微分方程：
他用定积分形式给出了第二个方程的四个特解，这些解称为抛物柱函数。韦伯指出在所有正交坐标系中，只有二阶同焦曲面或从中得出的特殊分支可对Δu+k^2u=0应用分离变量法。
除了以上几种，还有很多特殊函数类，它们可以在某有界区域内解微分方程，也可以在区域内表示任意函数（通常是偏微分方程的初始函数）。有界区域的限制是正交性质施加的，在三角函数的基本情形中，区域是(-π,π)
19世纪后半叶很多人研究在无穷区间或半无穷区间上解常微分方程或求任意函数的展开式问题，比如1864年厄米特引入厄米特函数。
要使用函数必须知道它们的性质，这些特殊函数形式复杂，性质也同样复杂，论文和文献很多，对于贝塞尔函数、球函数、椭球函数、Mathieu函数等特殊函数已有了完整的专门论著。
