Minkowski不等式

定义：在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski inequality）表明 $L^p$ 空间是一个赋范向量空间。设 $S$ 是一个测度空间， $1 \leq p \leq \infty, f, g \in L^p(S)$ ，那么 $f + g \in L^p(S)$ ，我们有：

$\|f + g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p$

如果 $1 < p < \infty$ ，等号成立当且仅当 $\exists k \geq 0, f = kg$ ，或者 $g = kf$ 。【两个函数线性相关】

离散性质的Minkowski不等式

闵可夫斯基不等式是 $L^p(S)$ 中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：

$\left( \sum_{k=1}^{n} |x_k + y_k|^p \right)^{\frac{1}{p}} \leq \left( \sum_{k=1}^{n} |x_k|^p \right)^{\frac{1}{p}} + \left( \sum_{k=1}^{n} |y_k|^p \right)^{\frac{1}{p}}$

将所有实数 $x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_n$ （ $n$ 为 $S$ 的维数）改成复数同样成立。

值得指出的是，如果 $x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_n > 0$ ， $p < 1$ ，则 $\leq$ 可以变为 $\geq$ 。

积分形式的证明

我们考虑 $\|f + g\|_p$ 的 $p$ 次幂：

$\left( \int_a^b |f(x) + g(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} = \int_a^b |f(x) + g(x)||f(x) + g(x)|^{p-1} dx$

（用三角形不等式展开 $|f(x) + g(x)|$ ）

$\leq \int_a^b |f(x)||f(x) + g(x)|^{p-1} dx + \int_a^b |g(x)||f(x) + g(x)|^{p-1} dx$

（用赫尔德不等式）

$\leq \left( \int_a^b |f(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \left( \int_a^b |f(x) + g(x)|^{q(p-1)} dx \right)^{\frac{1}{q}} + \left( \int_a^b |g(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \left( \int_a^b |f(x) + g(x)|^{q(p-1)} dx \right)^{\frac{1}{q}}$

（利用 $p = qp - q$ ，因为 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ）

$= \left[ \left( \int_a^b |f(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} + \left( \int_a^b |g(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \right] \left( \int_a^b |f(x) + g(x)|^{qp-q} dx \right)^{\frac{1}{q}}$

$= \left[ \left( \int_a^b |f(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} + \left( \int_a^b |g(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \right] \left( \int_a^b |f(x) + g(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{q}}$

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项。首项除以尾项的最后一个因子，即得

$\left( \int_a^b |f(x) + g(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \leq \left( \int_a^b |f(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} + \left( \int_a^b |g(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}}$

这正是我们所要的结论。