1.1 循环群

设 $n$ 是正整数, 在复数域 $\mathbb{C}$ 中, 所有 $n$ 次单位根(即多项式 $x^n - 1$ 的复根) 组成的集合对于复数的乘法成为一个群, 称它为 $\mathbb{C}$ 中的 $n$ 次单位根群, 记做 $U_n$ 。

令 $\xi_n = e^{\frac{2\pi i}{n}}$ . 说明 $U_n$ 是循环群, $\xi_n$ 是它的一个生成元。

【解答】我们知道，满足方程 $x^n = 1$ 的有且仅有 $n$ 个复数。
他们分别可以表示为 $\{1, \xi_n, \xi_n^2, \cdots, \xi_n^{n-1}\}$
这是一个循环群：不难看出 $\xi_n$ 是他的一个生成元。

【注记】除此之外，对于任何与 $n$ 互素的正整数 $k(k \leq n)$ ， $\xi_n^k$ 也是这个 $n$ 阶循环群的一个生成元。

如果一个棱锥的底面是正 $n$ 边形( $n \geq 3$ ), 并且顶点在底面的射影是底面的中心, 那么称这个棱锥是正 $n$ 棱锥。
空间中绕某条直线的旋转 $\sigma$ , 如果把一个正 $n$ 棱锥变成与它自身重合的图形, 那么称 $\sigma$ 是这个正 $n$ 棱锥的一个旋转对称(性)变换。写出一个正 $n$ 棱锥的所有旋转对称(性)变换, 说明它们组成的集合 $G$ 对于映射的乘法成为一个群, 这个群是不是循环群?

【解答】我们把绕着该棱锥顶点和底面中心逆时针旋转 $\frac{2\pi}{n}$ 这个变换记作 $\sigma_n$ 。那么由 $\sigma_n$ 生成的群 $<\sigma_n>$ 就是满足题意的所有变变换，他是一个 $n$ 阶循环群。

分别求出 $\mathbb{Z}_7^*$ , $\mathbb{Z}_{12}^*$ 的所有生成元。
【解答】① $\mathbb{Z}_7$ 中共有 $\phi(7) = 6$ 个元素。因此 $\mathbb{Z}_7^* = \{ \overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6}\}$ 的生成元共有 $\phi(6)=2$ 个元素。
他们分别是 $\overline{3}$ 和 $\overline{3}^5 = \overline{5}$
【注记】：这里我们只需要确定一个生成元 $a$ ,那么对于其他与 $\mathbb{Z}_7^*$ 的阶数 $6$ 互素的的 $k$ ， $a^k$ 就也是生成元。

②类似地，我们可以说明 $\mathbb{Z}_{12}^* = \{ \overline{1},\overline{5},\overline{7},\overline{11}\}$ 中有 $4$ 个元素。他的生成元只有 $\phi(4) = 2$ 个.

$\mathbb{Z}_{14}^*$ 是不是循环群? 如果是, 求出它的所有生成元。
【解答】 $\phi(14) = 6$ ，他是 $6$ 阶循环群。 $\phi(6) = 2$ 。所以他有两个生成元。

【注释】 $\mathbb{Z}_n^*$ 是循环群当且仅 $n$ 为 $2,4,p^k,2p^k$ 这四种情况，其中 $p$ 为大于2的奇素数，这样我们就可以很快的判断第9题中的几个例子是否为循环群。

证明: 若 $\mathbb{Z}_n^*$ 是循环群, 则 $\mathbb{Z}_n^*$ 的生成元的个数等于 $\varphi(\varphi(n))$ 。

【证明】：首先，我们知道循环群 $\mathbb{Z}_n^*$ 中有着 $\phi(n)$ 个元素。假设 $\xi$ 为这个循环群的一个生成元。 $<\xi >$ 是一个 $\phi(n)$ 阶循环群，对于和 $\phi(n)$ 互素的 $k(k < n)$ ,可以验证 $\xi ^k$ 也是该循环群的一个生成元，反之，如果 $m$ 和 $\phi(n)$ 不互素，那么 $\xi ^m$ 就不是生成元，所以这个循环群生成元的个数为 $\phi(\phi(n))$ 。

设 $m$ 是大于 $1$ 的整数, 求 $m$ 阶循环群 $G$ 的生成元的个数。
【解答】：同第五题，可知 $m$ 阶循环群生成元的个数为 $\phi(m)$ .
$(\mathbb{Z}_8, +)$ 的生成元有多少个? 写出它们。
【解答】： $\phi(8) = 4$ 因此它的生成元有四个。找和 $8$ 互素的即可。
它的生成元为 $\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{7}$ 。
复数域中的 $n$ 次单位根群 $U_n$ 的生成元称为本原 $n$ 次单位根。对于给定的正整数 $n$ , 有多少个本原 $n$ 次单位根? 写出它们。
【解答】：有 $\phi(n)$ 个本原 $n$ 次单位根。假设 $\xi_n$ 是一个 $n$ 次本原单位根，对于任意的正整数 $k$ 与 $n$ 互素。(满足 $k\leq n$ ), $\xi_n^k$ 仍然是本原单位根。
$\mathbb{Z}_{19}^*, \mathbb{Z}_{20}^*, \mathbb{Z}_{21}^*, \mathbb{Z}_{22}^*, \mathbb{Z}_{24}^*, \mathbb{Z}_{25}^*, \mathbb{Z}_{50}^*, \mathbb{Z}_{81}^*, \mathbb{Z}_{98}^*$ 哪些是循环群? 哪些不是循环群?

【解答】根据第4题的注释，我们知道① $19$ 是素数，因此 $\mathbb{Z}_{19}^*$ 是循环群。② $20 = 2^2\times 5$ 因此 $\mathbb{Z}_{20}$ 不是循环群。③ $21 = 3 \times 7$ 因此 $\mathbb{Z}_{21}^*$ 是循环群。

$(\mathbb{Z}_2 \oplus (\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2), +)$ 与 $(\mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_2, +)$ 同构吗? 写出理由。

【解答】：不同构，因为 $(\mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_2, +)$ 中可以找到四阶元，但是 $(\mathbb{Z}_2 \oplus (\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2), +)$ 中所有元素的阶数不超过二阶。

【注记】：如果改成 $(\mathbb{Z}_2 \oplus (\mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}_2), +)$ 与 $(\mathbb{Z}_6 \oplus \mathbb{Z}_2, +)$ 此时这两个群就是同构的。并且我们有如下结论：
如果 $p$ 和 $q$ 互素，就有 $(\mathbb{Z}_p \oplus \mathbb{Z}_q, +) \cong (\mathbb{Z}_{pq}, +)$

下列个阶 Abel 群中, 哪些是彼此同构的?
- $(\mathbb{Z}_{24}, +)$ ,
- $(\mathbb{Z}_{12} \oplus \mathbb{Z}_2, +)$ ,
- $(\mathbb{Z}_6 \oplus \mathbb{Z}_4, +)$ ,
- $(\mathbb{Z}_3 \oplus (\mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_2), +)$ 。

【解答】：后三者是同构的，和第一个不同构。

下列阶 Abel 群中, 哪些是循环群?
- $(\mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_{25}, +)$ ,
- $(\mathbb{Z}_2 \oplus (\mathbb{Z}_5 \oplus \mathbb{Z}_5), +)$ ,
- $(\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_{50}, +)$ ,
- $(\mathbb{Z}_{10} \oplus \mathbb{Z}_{10}, +)$ 。

【解答】因为 $4$ 和 $25$ 是互素的，因此只有第一个群是循环群，剩下的三个都不是循环群。

设 $G$ 是一个群, 证明: 映射 $\sigma: x \mapsto x^{-1}$ 是 $G$ 到自身的同构映射当且仅当 $G$ 是 $Abel$ 群。
【解答】： $\sigma(xy) = (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}$
$\sigma(x)\sigma(y) = x^{-1}y^{-1}$ 再根据 $\sigma$ 是自同构，我们有
$y^{-1}x^{-1}= x^{-1}y^{-1}$ 这说明 $G$ 是一个 $Abel$ 群。
证明: 如果群 $G$ 的每一个非单位元的阶都为 $2$ , 那么 $G$ 必为 Abel 群。
【证明】这说明对于任意的 $x \in G$ 都满足 $x^2 = e$ 也就是说 $x^{-1} = x$ ，那么我们构造映射 $\sigma: x \mapsto x^{-1}$ 就是 $G$ 上的恒等变换，他显然是一个自同构，那么根据13题的结论， $G$ 是一个 $Abel$ 群。
证明: 如果群 $G$ 的阶为偶数, 那么 $G$ 必有 $2$ 阶元。
【证明】我们考虑 $x \in G$ ，满足 $x^2 \neq e$ 的情况，这样就说明 $x \neq x^{-1}$ ，那么一个元素 $x$ 和他的逆元 $x^{-1}$ 就可以两两配对。根据群 $G$ 的阶数目为偶数，那么剩下的满足 $x^2 = e$ 的元素必有偶数个。而这个方程显然有一个解是单位元 $e$ ,除掉单位元后，一定有非单位元的解，也就是这个群中的二阶元。