抽象代数三百题：群、子群、陪集和循环群 - 草稿

1.2.5.举出一个半群的例子，它不是含么半群；再举出一个含么半群的例子，它不是群.
1.2.6.（这可作为群的另一定义，即群的单边定义）设 $G$ 是一个半群，如果
（a） $G$ 中含有左幺元 $e$ ，即对任意 $a\in G，ea=a$ .
（b） $G$ 的每个元 $a$ 有左逆 $a^{-1}$ ，使得 $a^{-1}\cdot a=e$ .
试证 $G$ 是群.
1.2.7.（这可作为群的另一定义：即群的除法定义）设 $G$ 是半群，若对任意 $a，b\in G$ ，方程 $xa=b$ 和 $ay=b$ 在 $G$ 内有解，则 $G$ 是群.
1.2.8.（这可作为有限群的另一定义）设 $G$ 是一个有限半群，如果在 $G$ 内左右消去律均成立，即由 $ax=ay$ 或 $xa=ya$ 可推出 $x=y$ ，则 $G$ 是群.
1.2.12.证明有理数加法群 $Q$ 和非零有理数乘法群 $Q^*$ 不同构.
1.2.13.证明：
（1）有理数加法群 $Q$ 和正有理数乘法群 $Q^+$ 不同构.
（2）实数加法群 $R$ 同构于正实数乘法群 $R^+$ .
1.2.16.求有理数加法群 $Q$ 的自同构群 $Aut（Q）$ .
1.2.19.群 $G$ 的自同构 $\alpha$ 称为没有不动点的自同构，是指对 $G$ 的任意元 $g\not=1$ 有 $\alpha(g)\not =g$ .如果有限群 $G$ 具有一个没有不动点的自同构 $\alpha$ 且 $\alpha^2=1$ ，则 $G$ 一定是奇数阶 $Abel$ 群.
1.2.20.设 $a，b$ 是群 $G$ 的两个元，满足 $aba=ba^2b，a^3=1，b^{2n-1}=1$ .试证 $b=1$ .
1.3.3.设群 $G$ 中两个元 $g，h$ 可换， $o（g）=m，o（h）=n$ .记 $（m，n），[m，n]$ 分别是 $m，n$ 的最大公因子和最小公倍数.则
（1）(1) $\quad o\left(g^{n} h^{m}\right)=\frac{[m, n]}{(m, n)}$
（2） $G$ 中存在阶为 $（m，n）$ 的元；
（3） $G$ 中存在阶为 $[m，n]$ 的元。
1.3.11.设 $A≤G，B≤G$ .如果存在 $a，b\in G$ ，使得 $Aa=Bb$ ，则 $A=B$
1.3.14.设 $A≤G$ ，试证 $C_{G} C_{G} C_{G}(A)=C_{G}(A)$ .
1.3.15.试证有限群 $G$ 的一个真子群的全部共轭子群之并不能覆盖整个群 $G$ .结论对无限群是否成立？
1.3.16.设H和K分别是有限群G的两个子群，试证： $|H g K|=|H|\left[K : K \cap g^{-1} H g\right]=|K|\left[H : H \cap g K g^{-1}\right]$
1.3.17.设 $A$ 是群 $G$ 的具有有限指数的子群，试证：存在 $G$ 的一组元 $g_1，g_2…，g_m$ ，它们既可以作为 $A$ 在 $G$ 中的右陪集代表元系，又可以作为 $A$ 在 $G$ 中的左陪集代表元系.
1.3.18.令 $G=GL（n，C），P$ 是主对角线上的元均为 $1$ 的 $n\times n$ 上三角方阵全体形成的G的子群.确定 $N_G（P）$ ， $C_G（P）$ 和 $P$ 的中心 $Z（P）$ .
1.3.19.设 $G$ 是有限 $Abel$ 群，试证 $g$ 对应到 $g^k$ 是 $G$ 的一个自同构当且仅当 $k$ 和 $|G|$ 互素.
1.3.20.设 $G$ 是奇数阶有限群， $a\in Aut（G）$ 且 $\alpha^2=1$ .令 $G_{1}=\{g \in G | \alpha(g)=g\}, \quad G_{-1}=\{g \in G | \alpha(g)=g^{-1}\}$ .
试证： $G=G_1G_{-1}$ 且 $G\cap G_{-1}=1$ .
1.3.21.设群 $G$ 的元 $a_1，a_2，b_1，b_2$ 满足 $a_{1} b_{1}=a_{2} b_{2}=b_{1} a_{1}=b_{2} a_{2}, \quad a_{1}^{m}=a_{2}^{m}=b_{1}^{n}=b_{2}^{n}=1$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互素的正整数.则 $a_1=a_2，b_1 =b_2$ .
1.4.1.证明 $Euler$ 定理：若 $n$ 是正整数， $a$ 是与 $n$ 互素的整数，则 $a^{\varphi(n)} \equiv 1（mod\ n）$
，其中 $\varphi（n）$ 是 $Euler$ 函数，即 $\varphi（n）$ 是与 $n$ 互素的不超过 $n$ 的正整数的个数.
特别地，若 $p$ 是素数，则得到 $Fermat$ 小定理： $a^{p} \equiv a(\bmod p), \forall a \in \mathbb{Z}$
1.4.3.群 $G$ 没有非平凡子群的充分必要条件是 $G=\{1\}$ 或是素数阶循环群.
1.4.6.如果有限群 $G$ 有唯一的极大子群，则 $G$ 是素数幂阶循环群.
1.4.8.设 $p$ 是一个素数， $G={x\in C|存在正整数n使得x^{p^n}=1}$ ，则 $G$ 对于复数的乘法作成群.试证 $G$ 的任意真子群都是有限阶的循环群.
1.4.9.若群 $G$ 只有有限多个子群，则 $G$ 是有限群.
1.4.10.有理数加法群 $Q$ 不是循环群，但它的任意有限生成的子群都是循环群.
1.4.11.在 $n$ 阶循环群 $G$ 中，对 $n$ 的每个正因子 $m$ ，阶为 $m$ 的元恰好有 $\varphi（m）$ 个，其中 $\varphi（m）$ 是与 $m$ 互素且不超过 $m$ 的正整数的个数.由此证明等式 $\sum_{m|n} \varphi(m)=n$
1.4.12.设 $G$ 是一个 $n$ 阶有限群，若对 $n$ 的每一个因子 $m，G$ 中至多只有一个 $m$ 阶子群，则 $G$ 是循环群.
1.4.13*.群 $G$ 是循环群当且仅当 $G$ 的任一子群形如 $G^{m}=\left\{g^{m} | g \in G\right\}$ ，其中 $m$ 是非负整数.

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