2016年理数全国卷A题20（3）：优化的解法

2016年理科数学全国卷A题20

（20）（本小题满分12分）
设圆x^2+y^2+2x-15=0 的圆心为 A，直线 l 过点B(1,0) 且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C,D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD于点 E.
（I）证明|EA|+|EB| 为定值，并写出点 E 的轨迹方程;
（Ⅱ）设点 E 的轨迹为曲线 C，直线 l 交 C 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围.

第2问的优化解法：用极坐标配合三角函数

假如以椭圆的右焦点为极坐标原点，则点 M 的方程为：\rho _{_M} = \dfrac{a(1-e^2)}{1-e \cos \theta}

点 N 与点 M 的位置相差 180°，所以：|MN| = \dfrac{a(1-e^2)}{1-e \cos \theta} + \dfrac{a(1-e^2)}{1+e \cos \theta} = \dfrac{2a(1-e^2)}{1-e^2 \cos \theta}

代入本题中的参数值，得到：|MN| = \dfrac{2 \times 2(1- \dfrac{1}{4})}{1-\dfrac{1}{4} \cos^2 \theta} = \dfrac{12}{4- \cos^2 \theta}

再来考虑 PQ 的长度。PQ 是圆 A 的弦，其长度可以用两种方法求出：一是韦达定理；二是勾股定理。

PQ 中点可记作点 G, 因为 AP 与 AQ 都等于圆的半径，所以 AG \perp PQ，所以：|GQ|^2=|AQ|^2-|AG|^2

注意 PQ 是一条过定点 B 的弦。中点 G 的轨迹是以 AB 为直径的圆。（参见：【2014年文科数学全国卷一题20】）

所以：|AG| = |AB| \cos \angle GAB

又因为 AG \perp PQ, PQ \perp MN， 所以：|\cos \angle GAB | = | \cos \theta |. 其中，\theta 代表直线 MN 的倾角.

综上可知：

|PQ|^2 = 4 |GQ|^2 = 4(R^2- |AB|^2 \cos^2 \theta)=16(4-\cos^2 \theta)

|PQ|^2 \cdot|MN|^2 =16(4-\cos^2 \theta) \times \dfrac{12^2}{(4- \cos^2 \theta)^2} =\dfrac {4^2 \times 12^2}{(4- \cos^2 \theta)}

由题设条件可知：\theta \neq 0. \quad \therefore \cos^2 \theta \in [0,1), \quad \therefore \dfrac{1}{4- \cos^2 \theta} \in [\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{3}).

\therefore \quad |PQ| \times|MN| \in [24, 16 \sqrt{3}),

四边形 MPNQ 的面积 S_{_{MPNQ}} = \dfrac{1}{2} \times |PQ| \times |MN|

\therefore S_{MPNQ} \in [12, 8 \sqrt{3}).

【提炼与提高】
本题在直角坐标系中解决也是可以的，但计算量较大。如果应用极坐标方法，则可以显著地提高解题效率。

「2014年文科数学全国卷A题20」 难度不高，却很有典型性。时不时地回顾一下，很有好处。

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