2016年理数全国卷A题20（3）：优化的解法

2016年理科数学全国卷A题20

（20）（本小题满分12分）
设圆 $x^2+y^2+2x-15=0$ 的圆心为 $A$ ，直线 $l$ 过点 $B(1,0)$ 且与 $x$ 轴不重合， $l$ 交圆 $A$ 于 $C,D$ 两点，过 $B$ 作 $AC$ 的平行线交 $AD$ 于点 $E.$
（I）证明 $|EA|+|EB|$ 为定值，并写出点 $E$ 的轨迹方程;
（Ⅱ）设点 $E$ 的轨迹为曲线 $C$ ，直线 $l$ 交 $C$ 于 $M，N$ 两点，过 $B$ 且与 $l$ 垂直的直线与圆 $A$ 交于 $P，Q$ 两点，求四边形 $MPNQ$ 面积的取值范围.

第2问的优化解法：用极坐标配合三角函数

假如以椭圆的右焦点为极坐标原点，则点 $M$ 的方程为： $\rho _{_M} = \dfrac{a(1-e^2)}{1-e \cos \theta}$

点 $N$ 与点 $M$ 的位置相差 $180°$ ，所以： $|MN| = \dfrac{a(1-e^2)}{1-e \cos \theta} + \dfrac{a(1-e^2)}{1+e \cos \theta} = \dfrac{2a(1-e^2)}{1-e^2 \cos \theta}$

代入本题中的参数值，得到： $|MN| = \dfrac{2 \times 2(1- \dfrac{1}{4})}{1-\dfrac{1}{4} \cos^2 \theta} = \dfrac{12}{4- \cos^2 \theta}$

再来考虑 $PQ$ 的长度。 $PQ$ 是圆 $A$ 的弦，其长度可以用两种方法求出：一是韦达定理；二是勾股定理。

$PQ$ 中点可记作点 $G$ , 因为 $AP$ 与 $AQ$ 都等于圆的半径，所以 $AG \perp PQ$ ，所以： $|GQ|^2=|AQ|^2-|AG|^2$

注意 $PQ$ 是一条过定点 $B$ 的弦。中点 $G$ 的轨迹是以 $AB$ 为直径的圆。（参见：【2014年文科数学全国卷一题20】）

所以： $|AG| = |AB| \cos \angle GAB$

又因为 $AG \perp PQ, PQ \perp MN$ ，所以： $|\cos \angle GAB | = | \cos \theta |$ . 其中， $\theta$ 代表直线 $MN$ 的倾角.

综上可知：

$|PQ|^2 = 4 |GQ|^2 = 4(R^2- |AB|^2 \cos^2 \theta)=16(4-\cos^2 \theta)$

$|PQ|^2 \cdot|MN|^2 =16(4-\cos^2 \theta) \times \dfrac{12^2}{(4- \cos^2 \theta)^2} =\dfrac {4^2 \times 12^2}{(4- \cos^2 \theta)}$

由题设条件可知： $\theta \neq 0. \quad \therefore \cos^2 \theta \in [0,1), \quad \therefore \dfrac{1}{4- \cos^2 \theta} \in [\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{3})$ .

$\therefore \quad |PQ| \times|MN| \in [24, 16 \sqrt{3}),$

四边形 $MPNQ$ 的面积 $S_{_{MPNQ}} = \dfrac{1}{2} \times |PQ| \times |MN|$

$\therefore S_{MPNQ} \in [12, 8 \sqrt{3}).$

【提炼与提高】
本题在直角坐标系中解决也是可以的，但计算量较大。如果应用极坐标方法，则可以显著地提高解题效率。

「2014年文科数学全国卷A题20」难度不高，却很有典型性。时不时地回顾一下，很有好处。

最后编辑于：2021.07.10 23:23:06

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