立体几何之目：2009年理数海南卷题19~四面体与四棱锥

四面体与四棱锥：2009年理数海南卷题19（12 分）

如图，四棱锥 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍， 为侧棱 上的点.

（I）求证∶;

（Ⅱ）若 平面 ，求二面角 的大小;

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱 上是否存在一点 ，使得 // 平面 . 若存在，求 的值；若不存在，试说明理由.

2009年理数海南卷

【解答问题I】

连接 ，并记 交点为 .

连接 .

∵ 是正方形,

∴ , .

又 ∵ , ∴ .

∵ , ∴

∵ , ∴ 平面 ,

又∵ 平面 , ∴ .

【解答问题Ⅱ】

连接 .

在前节中已经证明： 平面 ,

而 平面 ,

∴

又∵ 是正方形, ,

∴ 是二面角 的平面角.

∵

∴ 是正三角形,

又∵ 若 平面 ，

∴ ,

∴

∴ 二面角 的大小.

【解答问题Ⅲ】

如图所示，平面 即平面 .

作 中点 ，并连接 .

在 内 ，并交 于点 .

∵ 是正三角形，点 是 中点，

∴

又∵ （已经在前节证明）

∴

∵ ,

∴ 平面 平面 .

而 平面 , ∴ 平面 , 也就是 平面 .

∵ 是 中点，,

是正三角形，

∴

∴

∵ ,

∴ .

【提炼与提高】

本题第1问与2007年文数海南卷高度相似。

由等腰三角形的三线合一推出线线垂直，由线线垂直推出线面垂直，再由线面垂直推出线线垂直。

第二问求二面角，解答关键是要清楚正三角形与直角三角形之间的关系。

第三问，由线线平行推出面面平行，由推出新的线面平行，同样体现了转化的思想。

第三问的解答要点有几个。

（1）要能够熟练地在线面平行与线线平行之间转化；

（2）对角线 将正方形分为两个等腰三角形；而 将四棱锥分成了两个四面体。在四面体 内讨论，相对要容易些。

（3）平面几何一定要过关。

本题中， 这两个四面体很有特色。它的一个面是正三角形，一个面是等腰直角三角形，另两个面是等腰三角形。这个四面体在2007年文数海南卷就已经出现，三年后在2009年理数海南卷两次出现。此后改头换面，在高考题中多次重现。一定要重视。

【相关考题】

2007年文数海南卷题18