四面体与四棱锥：2009年理数海南卷题19（12 分）
如图，四棱锥 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的
倍，
为侧棱
上的点.
（I）求证∶;
（Ⅱ）若 平面
，求二面角
的大小;
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱 上是否存在一点
，使得
// 平面
. 若存在，求
的值；若不存在，试说明理由.
【解答问题I】
连接 ，并记
交点为
.
连接 .
∵ 是正方形,
∴ ,
.
又 ∵ , ∴
.
∵ , ∴
∵ , ∴
平面
,
又∵ 平面
, ∴
.
【解答问题Ⅱ】
连接 .
在前节中已经证明： 平面
,
而 平面
,
∴
又∵ 是正方形,
,
∴ 是二面角
的平面角.
∵
∴ 是正三角形,
又∵ 若 平面
，
∴ ,
∴
∴ 二面角 的大小
.
【解答问题Ⅲ】
如图所示，平面 即平面
.
作 中点
，并连接
.
在 内
，并交
于点
.
∵ 是正三角形，点
是
中点，
∴
又∵ （已经在前节证明）
∴
∵ ,
∴ 平面 平面
.
而 平面
, ∴
平面
, 也就是
平面
.
∵ 是
中点，
,
是正三角形，
∴
∴
∵ ,
∴ .
【提炼与提高】
本题第1问与2007年文数海南卷高度相似。
由等腰三角形的三线合一推出线线垂直，由线线垂直推出线面垂直，再由线面垂直推出线线垂直。
第二问求二面角，解答关键是要清楚正三角形与直角三角形之间的关系。
第三问，由线线平行推出面面平行，由推出新的线面平行，同样体现了转化的思想。
第三问的解答要点有几个。
（1）要能够熟练地在线面平行与线线平行之间转化；
（2）对角线 将正方形分为两个等腰三角形；而
将四棱锥分成了两个四面体。在四面体
内讨论，相对要容易些。
（3）平面几何一定要过关。
本题中， 这两个四面体很有特色。它的一个面是正三角形，一个面是等腰直角三角形，另两个面是等腰三角形。这个四面体在2007年文数海南卷就已经出现，三年后在2009年理数海南卷两次出现。此后改头换面，在高考题中多次重现。一定要重视。
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