1我们借以定义自然数的数学归纳法是可以推广的。我们曾将自然数定义为对于直接前趋这一关系而言的0的“后代”。

直接前驱这个关系，是后继关系的逆关系。
后代关系指的是一个数和比它大的数的集合之间的关系。
比较后继和后代的区别。比如0 的后继是1，它的后代则是自然数。

称“直接前趋”这一关系为N,任何数m对于m+1就有N关系。如果只要m有一性质，m+1也有,或者说,m与之有N关系的数也有,则此性质为“对于N是遗传的”,或者简单地，“N-遗传的”。又如m所有的每一种N-遗传的性质n都有，则称n对于关系N而言的m的“后代”。这些定义全都可以应用于任何其它关系,就象应用于N一样。

直接前趋关系，指出来的是对于m而言大于m的数，这里指出来的是一种不满足的概念而言的关系，基于内涵对于关系或类的定义，而非基于外延对它的定义：所有大于m的自然数。
m有一性质，m与之有N关系的数也有,则此性质为“对于N是遗传的”。这个关系N需要蕴含对于这性质的处理。不然，就不能保证m与之有N关系的数也有这性质。
或者说，关系总是关于某个概念a的关系，然后才是有不同的对象嵌入这个关系中不满足的空位补充其满足性构成真值命题。2比1大。x比y大，是关系。大作为概念则是这个关系中比较的内容，或者说这个关系中蕴含的概念。

所以如果R是不论一个什么关系，我们可以建立以下的几个定义①:
假使一项x有一性质;又如x对y有R关系，则y也有此性质;那么这性质称为是“R-遗传的”。
给定一个类,如果定义它的性质是R-遗传的，那么这类也是R-遗传的。

_后面这句。一个类的性质，和这类如此这般，作为一个类的成员之间的共性，和这个类的成员之间的关系的共性，谈的是同一件事情。内涵和外延

联系定义：假使无论何时一数"有一性质，它的后继n十1也有，则称这性质在自然数串中是“遗传的”(hereditary)。同样,如n是一类中的一份子，n+1也是,则称这类是“遗传的”。

称一个类具有遗传的性质，在于成员和它的后继之间具有相同的性质b。这里遗传作为类的性质a。a作为关于b而言a（b）。
前一句：n有性质b，n+1也有，那么b在自然数串中是遗传的。

回到前面两句定义。性质b，在这里就是R。R遗传的。
但是后一句，给定一个类,如果定义它的性质是R-遗传的，那么这类也是R-遗传的。似乎是同义反复。

A property is called “R-hereditary” when, if it belongs to a term x, and x has the relation R to y, then it belongs to y.
A class is R-hereditary when its defning property is R-hereditary.
这里着眼原文后一句，这里就是一个定义：定义一个类的性质是R-遗传的，那么这个类就是R-遗传的。用类的性质来定义类。基于内涵对于类的定义。
什么性质是定义一个类的性质？这个类之下的诸项或成员基于这个共性而归入这个类中来，聚合为一个类，这样的性质和这个类之间就是基于内涵所定义的类和基于外延所定义的类之间的二而一。比如我的家人包括A/B/C/D,那么 我的家人这个概念类，和（A B C D),它们含义相同或谈论的是相同的东西。_

假使有一项x与其它的项有R关系，或者其它的项与x有R关系,又有一项y，具有x所有的每一种 R-遗传的性质,则称x为y的“R-祖先”。
所谓x的“R-后代”就是以x为其R-祖先的各项。

_体现在概念的属种差序列里，作为最高属的概念其内涵是其下所有种差概念的内涵所共有的。作为实例，就内涵而言，范畴是其下任何种差概念的祖先。这里概念的内涵，就是R作为关系其蕴含的那个概念部分。
范畴在内涵的分有而言这种关系的后代，就是其下诸种差概念的系列。

这里是实例的理解容易，但是原文这个普遍命题或一半的定义，理解起来比较不那么直观。罗素的这个定义是单纯处于逻辑的谈论。
这也是数理逻辑的特点：只基于逻辑展开普遍命题，而并不具体地考虑任何对象。数理逻辑要把数作为对象落到仅仅逻辑的谈论之上。这里实在的东西是逻辑，而非经验的考虑中落到某种自身还是蕴含着无知的经验之上，后者自身还是一个黑盒子，一个X，一个仅仅作为结果给出来的东西，它并非透明的。而奠基于逻辑，逻辑是透明的或自明的。

综合这几个定义。
假使一项x有一性质;又如x对y有R关系，则y也有此性质;那么这性质称为是“R-遗传的”。
这里基于不同项x y之间的R关系下，x具有的性质，y也具有这个条件，指出本来只是描述不同项的x和y之间的关系R，指出分别的不同项x和y之间在性质上的相同或继承。并且，这种继承是关于R的。R-遗传的 作为性质是对于x和y的性质的描述。类似于指出属种差序列中一个种差概念其内涵中属概念的部分。在宽泛的类上对一个概念作出定义，而非在全集的意义而言定义这个概念。
这性质称为是“R-遗传的”。“R-遗传的”是对于这性质的某个内涵成分的指出，而非对于这性质的全部内涵的指出。

落到数的情况。比如1作为一个数。它和2之间具有加一的关系，并且加一之后得到的2还是一个数，那么作为数这种性质，它对加1这种关系而言是遗传的。或者说，数的性质对于加1是遗传的。这就是之前我想表达但是很难说清楚的一个数加上另一个数得到的还是一个数的性质。这点，在别的东西那里很难遇到。比如颜色，感觉红没法和感觉蓝相加得到一个集合，得到的是一个根本不同的颜色，而非集合或类。数的特征在于作为类的类，某个数和别的数可以在数数所得的系列中，作为不同的类其下的项一个一个的1是相同的。别的东西里，一个a和一个b并不能看作相同的东西。只有数作为类的类的抽象才可以把不同的东西看作相同的归于数。
或者说，数作为类的类的抽象，作为抽象对象，有别于经验的对象。我也可以一个类的共性得到红这样的概念。但是，这里的区别，在于红作为属性，是从实体中抽象出来的属性，是一阶概念。一阶概念的特质是它源于一种感性的着眼对于对象的性质的抽象。数作为性质，它并不属于特定对象，而属于类。单个对象只有看作单项类时联系于1这个数，或者说1这个数属于它。1作为性质不是任何可感的性质，而基于逻辑而可思。离开逻辑，又没法把它的实在归于感官，怎么理解数？二阶概念突出来的是其单单归于可思的逻辑的情况，数、真，善或思辨逻辑 正义 理性这些东西。而一阶概念突出来的是作为可见事物就其自身的整分关系中不独立部分的归于感性的东西，比如红。
可见的 归于感性，可思的 归于逻辑。这是实在的两头或两种。苏格拉底关于实在会怎么说？一方面，实在的东西作为在先的东西是本体。那么，具体的理念作为实践的出发点，是实在的，它先于做出来的东西。另一方面，践行始终还是要基于一步一步具体的东西的能够做出来。而一个自觉的理念做出来所赖于的实际的行动的能够做出来的东西，这里在下面承托起别的东西而自身作为在先的东西，恰好就是人性实然的部分，它就是遇到某种境况人在某种认知为条件下总是会这么去做的情况。地府之行刻画的就是这些人性实然的场景，它们作为造就任何可能的东西的基本构件。因此，这里人性实然是实在的。并且，人性实然可以为我所认知，也可以基于特定的场景所激发，我虽然实现并不认识到我的这种秉性但是我就会这般判断和行动。那作为目的的理念，它租后要奠基于这人性实然的东西上，在起呼应中得以成立。因此，理念和地府之行中所揭示出来的人性实然之间，是认知和本体之间的关系。非得前者要作为对于后者的揭示，两者之间处于二而一的关系，一个理念才是实践中可能做得到的。向上的路和向下的路是同一条路，就是认识论和本体论作为同一条路的两端之间一头向另一头相对方向的运动。
并且，这里人性实然本身也是富于层次性的展开。它并非生理心理的欲望和好胜激情作为脱离整体和周边环境单独抽出来的东西被考虑。而是，人性也总是运行在自下而上的满足和诉求的拾阶而上。人性本身就是一种归于生理归于心理到归于知识和理性的拾阶而上的过程里。它本身也是一条上升的路，它是一个函项而非固有的实在的诉求。或者说，它就是认识人自身这个工作本身。对于人性对于自身的认识，这本身也并非一个一目了然的直观的东西，而是一个基于反思和细致的审视的判断。它是推理的产物，而非直观的判断，不是这个苹果是红的那样看一眼基于感性就可得的经验。

回到前面，一个性质是R遗传的，就是R这个关系对这个性质有所涉及。或者说，对于不同对象之间的一个关系，其内容类比内涵之于概念，作为基于内涵或内容对于关系的定义，其中蕴含对于这个性质的处理：
R=f（性质a）
f（a）作为关系具有多个空位。

数理逻辑作为基于逻辑对数的谈论，它是单纯的逻辑，而并不涉及任何具体东西的判断。
它又有别于辩证法的演绎。辩证法考虑的是一个东西的演绎的并不注重个别的东西个别性的关注的可能性。数理逻辑则处处落脚于具体的东西。在这里，对象作为代词a置于逻辑之中。使得逻辑命题是关乎任何具体的东西的谈论为真。
数理的逻辑的魅力，在对于日常的东西的承接。数是经验的东西的抽象，数理逻辑作为关于数的谈论，它总是对于任何东西的谈论。在这里，逻辑不是其内涵在先的东西，比如辩证法里先把逻辑公式先做一个罗列然后以其为工具演绎。逻辑在这里是一种基于语境原则对于认识论上在先或直接给出来的真命题其形式的抽象。或者说，逻辑在此是分析的产物，而非工作的前提。这使得对于逻辑的认识给出了源头的东西。

······数学归纳法是一个定义,而非原则。对于一些数它能适用，也有其它的数(如我们在第八章中将要见到的)它不能适用。正因我们定义“自然数”为借助数学归纳法的证明所能适用的一些东西,也就是,只有一切归纳性质的那些东西。所以这些证明能应用于自然数，这一点也不是出于神秘的直觉，公理或者原则，而纯粹足一个字面上的命题，所谓证明不过是做字面上的工作。如果“四足兽”定义为有四个脚的动物,那么有四个脚的动物就是四足兽。自然数所以服从数学归纳法与四足兽这…--例完全相似。
我们将用“归纳数”这一名词指我们迄今以“自然数”表示的同一类。因为它能提醒我们数的类是由数学归纳法得到的，所以它比“自然数”这一名词更好,更恰当。

4为使我们能在这样产生的序列中定义“先于”及“后子”的关系，这个方法常需要数学归纳法的普遍形式。以前我们定义“后代”时，一项也包含在它自己的后代中，现在让我们将x从它自己的后代中除去,我们援真分数的例，称x与之有R关系的某项的R-后代为x对R而言的“真后代”(proper posterity)。回基本定义，我们可以定义“真后代”如下:
设有一项x与之有R关系，任何项,如有此项所有的各种R-遗传性质则这些项所构成的类即称为x对于R而言的真后代，

分析哲学的谈论方式，基于从外延定义的类来谈论任何概念。或者说从认识论上可以直接给出的基于外延定义的类，讨论其内涵上的定义。