数学分析考研真题分类汇编001:递推数列的极限

(厦门大学,2022)设数列 ${\left\{x_{n}\right\}}$ 由以下迭代产生: ${x_{1}=\frac{1}{2},x_{n+1}=x_{n}^{2}+x_{n}}$ . 证明:
${\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1+x_{1}}+\frac{1}{1+x_{2}}+\cdots+\frac{1}{1+x_{n}}\right)=2 .}$

解答:首先由 ${x_{n+1}-x_{n}=x_{n}^{2} \geq 0}$ 可知数列 ${\left\{x_{n}\right\}}$ 单调递增,若 ${\left\{x_{n}\right\}}$ 有上界,则 ${\left\{x_{n}\right\}}$ 收敛,设其极限为 ${a}$ ,那么对等式 ${x_{n+1}=x_{n}^{2}+x_{n}}$ 两边取极限有 ${a=a^{2}+a}$ ,解得 ${a=0}$ ,这与 ${x_{n} \geq x_{1}=\frac{1}{2}}$ 矛盾,于是 ${\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty}$ . 另外由 ${x_{n+1}=x_{n}^{2}+x_{n}=x_{n}\left(1+x_{n}\right)}$ 可知 ${\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{1}{x_{n}\left(1+x_{n}\right)}=\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{1+x_{n}}}$ ,即
${\frac{1}{1+x_{n}}=\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}} . }$ 于是
${\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1+x_{1}}+\frac{1}{1+x_{2}}+\cdots+\frac{1}{1+x_{n}}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{x_{k}}-\frac{1}{x_{k+1}}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{n+1}}\right)=2 . }$

(南京师范大学,2022; 西北工业大学,2022)设 ${x_{1}=\sqrt{2},x_{n+1}=\frac{1}{2+x_{n}}(n=1,2,3,\cdots)}$ ,证明:数列 ${\left\{x_{n}\right\}}$ 收敛,并求极限 ${\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}}$ .

解答:首先由数学归纳法易知,对任意的正整数 ${n}$ ,有 ${x_{n}>0}$ . 另外,由 ${x_{n+1}=\frac{1}{2+x_{n}}}$ 还有
${\frac{x_{n+1}+1-\sqrt{2}}{x_{n+1}+1+\sqrt{2}}=\frac{\frac{1}{2+x_{n}}+1-\sqrt{2}}{\frac{1}{2+x_{n}}+1+\sqrt{2}}=\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} \cdot \frac{x_{n}+1-\sqrt{2}}{x_{n}+1+\sqrt{2}} . }$ 由此递推可知
${\frac{x_{n}+1-\sqrt{2}}{x_{n}+1+\sqrt{2}}=\frac{x_{1}+1-\sqrt{2}}{x_{1}+1+\sqrt{2}}\left(\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\right)^{n-1}=\frac{1}{1+2 \sqrt{2}}\left(\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\right)^{n-1} }$ 上式两端取极限可得
${\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}+1-\sqrt{2}}{x_{n}+1+\sqrt{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+2 \sqrt{2}}\left(\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\right)^{n-1}=0 }$ 而 ${\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}+1-\sqrt{2}}{x_{n}+1+\sqrt{2}}=1-\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 \sqrt{2}}{x_{n}+1+\sqrt{2}}}$ ,所以结合上式可知
${\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 \sqrt{2}}{x_{n}+1+\sqrt{2}}=1 }$ 于是 ${\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}+1+\sqrt{2}\right)=2 \sqrt{2}}$ ,这说明 ${\left\{x_{n}\right\}}$ 收敛,且 ${\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\sqrt{2}-1}$ .

(广西大学,2022)若 ${x_{1}=10,x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}}$ ,证明:数列 ${\left\{x_{n}\right\}}$ 极限存在,并求其极限.

解答:由于 ${x_{1}=10>3}$ ,现在设正整数 ${k}$ 满足 ${x_{k}>3}$ ,那么根据已知,有
${x_{k+1}=\sqrt{6+x_{k}}>\sqrt{6+3}=3 . }$ 所以由数学归纳法,对任意的正整数 ${n}$ ,有 ${x_{n}>3}$ ,进而
${\left(x_{n}+2\right)\left(x_{n}-3\right)=x_{n}^{2}-x_{n}-6>0 . }$ 这说明
${x_{n}>\sqrt{6+x_{n}}=x_{n+1} . }$ 即 ${\left\{x_{n}\right\}}$ 单调递减有下界,所以 ${\left\{x_{n}\right\}}$ 收敛,设 ${\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x}$ ,则 ${x \geq 3}$ ,对等式 ${x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}}$ 取极限,有
${x=\sqrt{6+x} }$ 结合 ${x \geq 3}$ 可解得 ${x=3}$ ,即 ${\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=3}$ .

(北京邮电大学,2022)设 ${x_{0}>0,x_{n}=\frac{3 x_{n-1}}{2+x_{n-1}},n=1,2,\cdots}$ . 证明:数列 ${\left\{x_{n}\right\}}$ 收敛并求其极限.

解答:首先由数学归纳法易知 ${x_{n}>0(n=0,1,2,\cdots)}$ . 另外,结合已知有
${1-\frac{1}{x_{n}}=1-\frac{2+x_{n-1}}{3 x_{n-1}}=\frac{2 x_{n-1}-2}{3 x_{n-1}}=\frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{x_{n-1}}\right),n=1,2,\cdots . }$ 这说明 ${\left\{1-\frac{1}{x_{n}}\right\}}$ 是以 ${\frac{2}{3}}$ 为公比的等比数列,进而 ${1-\frac{1}{x_{n}}=\left(1-\frac{1}{x_{0}}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^{n}}$ ,解得
${x_{n}=\frac{1}{1-\left(1-\frac{1}{x_{0}}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^{n}} }$ 由此可知 ${\left\{x_{n}\right\}}$ 收敛,且
${\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1-\left(1-\frac{1}{x_{0}}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^{n}}=1 . }$

最后编辑于：2022.09.15 19:45:21

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