常见极限的求解方法

一、直接带入

$\lim_{x \to 1}(x^3 - 3x^2 + 1)$

将x=1带入，函数的极限为-1。

二、利用无穷大和无穷小的关系

无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大。

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 8}{x - 3}$

因为x-3=0且x²-8≠0，可知式子的倒数是无穷小：

$\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^2 - 8} = 0$

无穷小的倒数是无穷大，可知函数的极限为∞。

三、利用无穷小的性质

无穷小量

……有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小……

$\lim_{x \to \infty}\frac{\cos{x}}{x}$

由于x→∞时， $\frac{1}{x}$ 是无穷小，而 $\cos{x}$ 是有界函数，根据无穷小的性质可知，式子仍是无穷小，极限为0。

四、分子、分母分解因式

$\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$

x²-16可以分解成(x+4)(x-4)，因此式子可以化为：

$\lim_{x \to 4} (x + 4)$

再将x=4带入，函数的极限为8。

五、根式有理化

如果式子中出现根式，可以利用平方差公式将根式有理化求解：

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$

用平方差公式将分子有理化

$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}$

分子化简为x，分子、分母约去x，最终得到式子：

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}$

最后将x=0带入，函数的极限为 $\frac{1}{2}$ 。

六、用等价无穷小替换

$\lim_{x \to 0}\frac{\ln{(1+x+x^2+x^3)}}{x}$

无穷小量

$\ln{(1+x)} \sim x$

分子用等价无穷小替换，式子可以化成：

$\lim_{x \to 0}\frac{x+x^2+x^3}{x}$

约分并将x=0带入，函数的极限为0。

等价无穷小的替换仅在乘除中可用，在加减时不能用。

七、分式上下同时除以x的最高次幂

用于当x→∞时：

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3-x+2}{x^4+4x^2-5}$

分子、分母同时除以x⁴（最高次幂）得：

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x}-\frac{1}{x^3}+\frac{2}{x^4}}{1+\frac{4}{x^2}-\frac{5}{x^4}}$

因为：

$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^n}=0\;(n>0)$

所以，分子为0，而分母不等于0，可知函数的极限为0。

此类式子有如下规律：

若分子x的最大指数等于分母，极限为分子、分母最高次系数之比；
若分子x的最大指数小于分母，极限为0；
若分子x的最大指数大于分母，极限为∞。

最后编辑于：2022.11.06 11:26:04

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