高代——数学竞赛决赛

第一届

七（20分）设 $A，B$ 均为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，且满足 $n-1 \leq \mathrm{rank} A \leq \mathrm{n}$ ，证明：
存在实可逆矩阵 $C$ 使得 $C^TAC$ 和 $C^TBC$ 均为对角阵
八（15分）设 $V$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间， $f_{j} : V \rightarrow C(j=1,2)$ 是非零的线性函数且线性无关，证明：任意的 $\alpha\in V$ 都可表示 $\alpha=\alpha_1+\alpha_2$ ，使得 $f_{1}(\alpha)=f_{1}\left(\alpha_{2}\right)$ $f_{2}(\alpha)=\mathrm{f}_{2}\left(\alpha_{1}\right)$

第二届

四、（15分）设 $A \in M_{n}(\mathbf{C})$ ，定义线性变换 $\sigma_{A} : M_{n}(\mathbb{C}) \rightarrow M_{n}(\mathbb{C}), \sigma_{A}(X)=A X-X A$ 证明：当 $A$ 可对角化时， $\sigma_{A}$ 也可对角化。这里 $M_{n}(\mathbb{C})$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上 $n$ 阶方阵组成的线性空间.
六、（20分）设 $\varphi : M_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}$ 是非零线性映射，满足 $\varphi(X Y)=\varphi(Y X), \quad \forall X, Y \in M_{n}(\mathbb{R})$ 这里 $M_{n}(\mathbb{R})$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上 $n$ 阶方阵组成的线性空间.在 $M_{n}(\mathbb{R})$ 上定义双线性型 $（-，-）：$
$M_{n}(\mathbb{R}) \times M_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}$ 为 $(X, Y)=\varphi(X Y)$ .
（1）证明 $（-，-）$ 是非退化的，即若 $(X, Y)=0, \quad \forall Y \in M_{n}(\mathbb{R})$ 则 $X=O$ ；
（2）设 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n^{2}}$ 是 $M_{n}(\mathbb{R})$ 的一组基， $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n^{2}}$ 是相应的对偶基，即 $\left(A_{i}, B_{j}\right)=\delta_{i j}=\left\{\begin{array}{l}{0，当i\not= j} \\ {1，当i=j}\end{array}\right.$ 证明立
$\sum_{i=1}^{n^{2}} A_{i} B_{i}$ 是数量矩阵。

第三届

五、（本题15分）设A，B分别是 $3×2$ 和 $2×3$ 实矩阵，若 $A B=\left( \begin{array}{ccc}{8} & {0} & {-4} \\ {-\frac{3}{2}} & {9} & {-6} \\ {-2} & {0} & {1}\end{array}\right)$ 求 $BA$ .
六、（本题20分）设 $\left\{A_{i}\right\}_{i \in I},\left\{B_{i}\right\}_{i \in I}$ 是数域 $F$ 上两个矩阵集合，称它们在 $F$ 上相似：如果存在 $F$ 上与 $i\in I$ 无关的可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1} A_{i} P=B_{i}, \forall i \in I$ 证明：
有理数域 $\mathbb{Q}$ 上两个矩阵集合 $\left\{A_{i}\right\}_{i \in I},\left\{B_{i}\right\}_{i \in I}$ ，如果它们在实数域 $\mathbb{R}$ 上相似，则它们在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上也相似。

第四届

三、（本题15分）设 $n$ 阶实方阵 $A$ 的每个元素的绝对值为 $2$ .证明：当 $n≥3$ 时，
$|A| \leqslant \frac{1}{3} \cdot 2^{n+1} n !$
五、设 $A=\left( \begin{array}{lll}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{12}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{13}} & {a_{23}} & {a_{33}}\end{array}\right)$ 实对称矩阵， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，记 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left| \begin{array}{cccc}{x_{1}^{2}} & {x_{2}} & {x_{3}} & {x_{4}} \\ {-x_{2}} & {a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {-x_{3}} & {a_{12}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {-x_{4}} & {a_{13}} & {a_{23}} & {a_{33}}\end{array}\right|$ 若 $|A|=-12$ , $A$ 的特征值之和为1，且 $(1,0,-2)^T$ 为 $\left(A^{*}-4 I\right) x=0$ 的一个解。试给出一正交变换 $\left( \begin{array}{l}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \\ {x_{4}}\end{array}\right)=Q \left( \begin{array}{l}{y_{1}} \\ {y_{2}} \\ {y_{3}} \\ {y_{4}}\end{array}\right)$ ，使得 $f(x_1,x_2,x_3,x_4)$ 化为标准型

第五届

二、设实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x^{T} A x$ ，其中 $\boldsymbol{x}=\left( \begin{array}{c}{x_{1}} \\ {\boldsymbol{x}_{2}} \\ {\boldsymbol{x}_{3}} \\ {\boldsymbol{x}_{4}}\end{array}\right), \boldsymbol{A}=\left( \begin{array}{cccc}{2} & {a_{0}} & {2} & {-2} \\ {\boldsymbol{a}} & {\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{b}} & {\boldsymbol{c}} \\ {\boldsymbol{d}} & {\boldsymbol{e}} & {\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{f}} \\ {\boldsymbol{g}} & {\boldsymbol{h}} & {\boldsymbol{k}} & {\boldsymbol{4}}\end{array}\right)$ $a_{0}, a, b, c, d, e, f, g, h, k$ 皆为实数。已知 $\lambda_1=2$ 是 $A$ 的一个几何重数为3的特征值。试回答以下问题：
(i) $A$ 能否相似于对角矩阵；若能，请给出证明；若不能，请给出例子。
(ii)当 $a_0=2$ 时，试求 $f(x_1,x_2,x_3,x_4)$ 在正交变换下的标准型。
三、设 $n$ 阶实方阵 $A=\left( \begin{array}{ccccc}{a_{1}} & {b_{1}} & {0} & {\cdots} & {0} \\ {*} & {\ddots} & {\ddots} & {\ddots} & {0} \\ {*} & {\ddots} & {\ddots} & {\ddots} & {0} \\ {*} & {\ddots} & {\ddots} & {\ddots} & {b_{n-1}} \\ {*} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} & {a_{n}}\end{array}\right)$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量， $b_1,\ldots,b_{n-1}$ 均不为0，记 $W=\{X\in\mathbb{R}^{n\times n}|XA=AX\}$ 证明： $W$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的向量空间，且 $I,A,\ldots,A^{n-1}$ 为其一组基，其中 $I$ 为 $n$ 阶单位阵。

第六届

一、（1）实二次型 $2 x_{1} x_{2}-x_{1} x_{3}+5 x_{2} x_{3}$ 的规范型=
（4） $A=\left(a_{i j}\right)$ 为 $n$ 阶实对称矩阵 $（n>1）$ ， $rank（A）=n-1，A$ 的每行元素之和均为 $0$ .设 $2，3…，n$ 为 $A$ 的全部非零特征值。用 $A_{11}$ 表示 $A$ 的元素 $a _{11}$ 所对应的代数余子式.则有 $A_{11}=$ ____
三、证明题（15分）设 $\Gamma=\left\{\left( \begin{array}{cc}{z_{1}} & {z_{2}} \\ {-\overline{z_{2}}} & {\overline{z_{1}}}\end{array}\right) | z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}\right\}$ 其中 $\mathbb{C}$ 表复数域。试证 $\forall A\in\Gamma$
$A$ 的 $Jordan$ 标准形。 $J_A$ 仍然属于 $\Gamma$ ；进一步还存在可逆的矩阵 $P\in\Gamma$ 使得 $P^{-1} A P=J_{A}$

第七届

（1）设 $\Gamma$ 为形如下列形式的2016阶矩阵全体：矩阵的每行每列只有一个非零元素，且该非零元素为1，则 $\sum_{A \in \Gamma}|A|=\underline{\mathbf{0}}$
（4）若实向量 $X=（a，b，c）$ 的三个分量 $a，b，c$ 满足
$\left( \begin{array}{ll}{a} & {b} \\ {0} & {c}\end{array}\right)^{2016}=I_{2}$ 则 $X=（1，0，1）$ 或 $（-1，0，-1）$ 或 $（1，t，-1）$ 或 $（-1，t，1），t=R.$
三、设 $A，B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵。证明： $\operatorname{tr}\left((A B)^{2}\right) \leq \operatorname{tr}\left(A^{2} B^{2}\right)$

第八届

一、设 $x^{4}+3 x^{2}+2 x+1=0$ 的4个根为 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ ，则 $\left| \begin{array}{cccc}{\alpha_{1}} & {\alpha_{2}} & {\alpha_{3}} & {\alpha_{4}} \\ {\alpha_{2}} & {\alpha_{3}} & {\alpha_{4}} & {\alpha_{1}} \\ {\alpha_{3}} & {\alpha_{4}} & {\alpha_{1}} & {\alpha_{2}} \\ {\alpha_{4}} & {\alpha_{1}} & {\alpha_{2}} & {\alpha_{3}}\end{array}\right|=$
(4)记两个特征值为 $1,2$ 的 $2$ 阶实对称矩阵的全体为 $\Gamma$ $\forall A \in \Gamma, a_{12}$ 表示 $A$ 的 $(2,1)$ 位置元素，则集合 $\cup_{A \in \Gamma}\left\{a_{21}\right\}$ 的最小元等于
三、设 $n$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $秩(ABA)=秩(B)$ 。证明： $AB$ 与 $BA$ 相似

第九届

（1）设实方阵 $H_{1}=\left( \begin{array}{ll}{0} & {1} \\ {1} & {0}\end{array}\right)$ ， $H_{n+1}=\left( \begin{array}{cc}{H_{n}} & {I} \\ {I} & {H_{n}}\end{array}\right), n \geq 1$ 其中 $I$ 是与 $H_n$ 同阶的单位方阵。则 $rank(H_4)=$
(4)设二次型 $f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) A \left( \begin{array}{c}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {\vdots} \\ {x_{n}}\end{array}\right)$ 的矩阵 $A$ 为 $\left( \begin{array}{ccccc}{1} & {a} & {a} & {\cdots} & {a} \\ {a} & {1} & {a} & {\cdots} & {a} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a} & {\cdots} & {a} & {1} & {a} \\ {a} & {a} & {\cdots} & {a} & {1}\end{array}\right)$ 其中 $n>1,a\in \mathbb{R}$ ，则 $f$ 在正交变换下的标准形为_____
三、设 $A,B,C$ 均为 $n$ 阶复方阵，且满足 $A B-B A=C, \quad A C=C A, \quad B C=C B$
1.证明： $C$ 是幂零方阵；
2.证明： $A,B,C$ 同时相似于上三角阵
3.若 $C\not=0$ 求 $n$ 最小值

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高代——数学竞赛决赛

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