零：集合与整数

集合间的等价关系

定义 1 如果一个非空集合 S 的一个二元关系 R 满足下列三条：

  1. 反身性 aRa，对所有 a \in S；
  2. 对称性 若 aRb，则 bRa；
  3. 传递性 若 aRb 且 bRc，则 aRc；

则称 R 是 S 的一个等价关系。等价关系 R 通常记成 “\sim”。

集合之间的划分

如果非空集合 S 的一组子集 \{S_\lambda \mid \lambda \in I\}，I 为指标集，满足下列条件：

\quad S = \bigcup_{\lambda \in I} S_\lambda;

\quad S_\lambda \cap S_\mu = \emptyset, \lambda \neq \mu, \lambda, \mu \in I;

则 \{S_\lambda\} 叫做 S 的一个划分。

同余

设 n 为一正整数，a, b 为任意整数。如果 n \mid (a - b)，则 a, b 叫做模 n 同余，记作

a \equiv b \pmod{n},

n 叫做模数。否则，a, b 叫做模 n 非同余，记作 a \not\equiv b \pmod{n}。以下的讨论恒固定一个模数或几个模数。

容易证明 a \equiv b \pmod{n} 的充要条件是除法算式 a = q_1 n + r_1 和 b = q_2 n + r_2 有相同的余数 r_1 = r_2。

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