线性代数系列：向量组线性相关/无关

关键词：线性代数，非齐次线性方程组

内容摘要

向量能否用向量组线性表示问题

向量组能否线性表示问题

知识点一

一个向量能否由给定的向量组线性表示，等价于对应的非齐次线性方程组是否有解：

如果该向量可以被线性表示，则方程组有解；
如果表示方式不唯一（即存在多种线性组合），则方程组有无穷多解；
如果该向量无法被线性表示，则方程组无解。

知识点二

由n个n维向量形成的向量组，如果他们都线性无关，那么这个向量组可以线性表示任意n维向量，反之，如果由n个n维向量形成的向量组线性相关，一定存在一个或者多个向量，不能由这个n维向量组线性表示（当然也有个别向量能用该向量组表示），所以，如果有一个向量能被该n乘n的向量组线性表示，有另一个向量不能被n乘n的向量组线性表示，那么这个n乘n的向量组线性相关。

例题1

已知
$\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix},\quad \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ a \end{bmatrix},\quad \mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} a \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{\beta} = \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ a^2 \end{bmatrix},\quad \mathbf{r} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$

若 $\boldsymbol{\beta}$ 能由 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ 线性表示，
但 $\mathbf{r}$ 不能被 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ 线性表示，
则
$a = \ ?$

解:
根据题意， $\boldsymbol{\beta}$ 能由 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ 线性表示，但存在向量 $\mathbf{r}$ 不能被其线性表示，说明向量组 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ 不能张成整个 $\mathbb{R}^3$ ，即它们线性相关。

因此，由这三个向量构成的矩阵的行列式为 0：

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & a & 1 \end{vmatrix} = 0$

计算该行列式：

$\begin{aligned} &\quad\ \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & a & 1 \end{vmatrix} \\ &= 1 \cdot (-1 \cdot 1 - 2 \cdot a) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) + a \cdot (1 \cdot a - (-1) \cdot (-1)) \\ &= (-1 - 2a) - (1 + 2) + a(a - 1) \\ &= -1 - 2a - 3 + a^2 - a \\ &= a^2 - 3a - 4 \end{aligned}$

令其等于 0：
$a^2 - 3a - 4 = 0$

解得：
$a = 4 \quad \text{或} \quad a = -1$
当 $a = -1$ 时，

向量组为：
$\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix},\quad \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix},\quad \mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

即构成矩阵：
$[\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

向量 $\boldsymbol{\beta}$ 为：
$\boldsymbol{\beta} = \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix}$

考虑线性方程组 $x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2 + x_3 \mathbf{a}_3 = \boldsymbol{\beta}$ ，对应的增广矩阵为：
$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 4 \\ 1 & -1 & 2 & -4 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]$

进行初等行变换：
$\xrightarrow{r_2 - r_1,\ r_3 + r_1} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}\right]$

最后一行出现 $0 = 5$ ，矛盾，说明方程组无解。

因此，当 $a = -1$ 时， $\boldsymbol{\beta}$ 不能被 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ 线性表示，不满足题意，舍去。

当 $a = 4$ 时，

向量组为：
$\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix},\quad \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix},\quad \mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

即构成矩阵：
$[\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & 1 \end{bmatrix}$

向量 $\boldsymbol{\beta}$ 为：
$\boldsymbol{\beta} = \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ 16 \end{bmatrix}$

观察可得：
$\boldsymbol{\beta} = 4 \cdot \mathbf{a}_2 = 4 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ 16 \end{bmatrix}$

因此， $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ 线性表示（只需取 $x_1 = 0, x_2 = 4, x_3 = 0$ ）。

同时，当 $a = 4$ 时，向量组 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ 线性相关（行列式为 0），故其张成的空间维度小于 3，因此存在某些向量（如题中 $\mathbf{r}$ ）无法被线性表示，满足题意。

综上所述：
$\boxed{a = 4}$

例题2

若向量组 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ 线性无关， $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_4$ 线性相关，则

A. $\mathbf{a}_1$ 必可由 $\mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4$ 线性表示
B. $\mathbf{a}_2$ 必可由 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4$ 线性表示
C. $\mathbf{a}_3$ 必可由 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_4$ 线性表示
D. $\mathbf{a}_4$ 必可由 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ 线性表示

解:
因为a1,a2,a3线性无关，所以a1,a2线性无关，又因为a1,a2,a4线性相关，所以a4必定处于以下三种情况之一
(1)a4可以被a1单独表示，此时a4是a1的倍数
(2)a4可以被a2单独表示，此时a4是a2的倍数
(3)a4不能被a1或者a2单独表示，但是可以表示为a1,a2的线性组合

不论是(1),(2),(3)，选项D都正确，所以是必有。
A选项，a1和a2，a3线性无关，只能看a4，当a4是a1的倍数（情况(1)，或者a4是a1，a2线性组合（情况(3)）的时候，A成立，但是当a4是a2的倍数的时候，A不成立
B选项，同理，当a4是a1倍数的时候，不成立
C选项，a3不能被a1，a2喜爱些嗯表示，同时a1，a2，a4线性相关，所以a4的信息并没有带来新的信息量，因此a3不能被a1，a2，a4线性表示
D正确

例题3

若向量组 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_s$ 可由向量组 $\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2, \dots, \mathbf{p}_s$ 线性表示，则
“ $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_s$ 线性无关” 是 “ $\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2, \dots, \mathbf{p}_s$ 线性无关” 的

A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件

解:
若a1，a2，...as线性无关，则推出p1，p2，...ps线性无关，这是充分条件
若p1，p2，...ps线性无关，则推出a1，a2，...as线性无关，这是必要条件
因为若a1，a2，...as可由p1，p2，...pn线性表示，所以a中任意一条向量都可以被p线性表示，若a1，a2，...as线性无关，则p1，p2，...ps必然线性无关，因为a和p的向量数是一样的，因为R(a)<=R(p)，若a满秩，因为a和p向量数一样，所以p也只能满秩，所以是充分条件
反过来，如果p1，p2，...ps线性无关，则不要求a1，a2，...as也线性无关，a可以取p中任意一条向量，无限复制s次，此时也满足a能被p线性表示，而此时a是线性相关的，因此是不必要条件
选B

线性代数系列：向量组线性相关/无关

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向量组能否线性表示问题

知识点一

知识点二

例题1

例题2

例题3

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