“知变化之道者，其知神之所为乎”--孔子 周易系辞上传

易经三易：变易、简易、不易。

辩证法的运动发展观，变化是永恒的，普遍的。

常与变：不变与变化， 常与变是相互对立而又统一的。“常”是事物的普遍规律,“变”是事物的特殊规律,普遍规律常寓于特殊规律之中。因此,不知常就谈不上变。常与变也是中国古代哲学中关于法则的恒定性和变化性与执行的原则性和灵活性的命题。

在数学解题过程中，对常量和变量要有正确的认识，不能绝对化，有时要把常量当变量或转换为变量，把变量当常量，也就是”常变”互化。在解题策略上，当碰到棘手的情况(case）时，有两种常与变的策略。

第一种是不怕困难，知难而进，改变、改造、转化导致棘手的矛盾和事物，这和心理学中的“同化”类似，改变或同化方向一般是矛盾的对立面或有关联的，例如已知、熟悉、简单、和谐、美化等。

对导致问题棘手的主要矛盾，通常情况下，面对主要矛盾要知难而进，直面问题，因为要解决问题是很难绕开躲过它们的，也就是主要矛盾一般是刚性的。

例1

证明：

解题分析与解法探索：

1）观察需要证明的不等式左边，分母较复杂。

2）情境分析，分析不等式取等的条件，易知当时等号成立。

3）可想到用放缩法化简复杂的分母，，它与要证的不等式方向相反，存在冲突，不和谐。这就是要解决的矛盾，这个矛盾感觉很难避开。

冲突与融合&消解。如何化解、转化、改造这个矛盾，让它变和谐？显然我们期望的改造目标方向是让两个不等式同向，这样才能用放缩法证明。

反过来，从辩证法的矛盾论和“缘起性空，因(机)缘和合”的角度理解，果从因生：缘起的先决条件是“因”，有“因”再加上“缘”，条件具足，才能生“果”。内因也就是“因”是生起万事万物主要的、内在的条件，是生果的直接力；“缘”是外因，是外在的条件、外在的环境，能助因生果，是生果的间接力。事物是没有独立自性的，是因缘和合所生。

有时要随缘，当条件不具备不合适时，要助缘、造缘。目前的代数式还不具备能利用上面那个放缩的内因和外缘。而没有合适的条件，没有合适的环境，我们就要主动创造&改造合适的条件和环境，消除冲突，让这个放缩能进行下去。

根据不等式的性质：不等式两边乘以负数，不等号会变向。所以想到对要证不等式两边同乘以-1，变为：

        1)

与放缩的不等式同向了，但还有差异，主要是1)式左边的负号还需要调整或消除。可想到对1)式左边加a+b+c，右边加3，变为：

，继续变形为：

        2）

可得：

故只需证：。由。

第二种是避重就轻，知难而退，避开导致棘手的矛盾和事物，保留它们而不去改变或不做大的改变。这和心理学中的“顺应”类似。避重就轻可能是暂时的，随着时间的推进，先前避开的可能就要去改变、改造、转化。

类似地，当我们看不清事物本质、不知道如何利用这些事物、看不清形势时，有时不要急着动手去改变看不清的事物，不要急着去利用它们，不要急着去采取行动，否则很可能就是妄动，反而得不偿失。

每种变化方案都是有成本和代价的，我们基于“变化方案”的损失收益代价成本、变化是否导致问题形势变得简单(便于解题)或变的更复杂，进行分析决策，评估变化方案的合理性，最终选择合适的变化方案：应该变哪些对象(同化哪些)，不能或不应该变哪些，也就是保留哪些(顺应哪些)。

避重就轻是一种心理倾向，也就是避难趋易，对棘手的不好啃的，要避开要顺应它。

例2

为大于1的正整数，证明：。

解题分析与方法探索：

1）不等式右边的结构复杂且不好改变不好改造它，也就是右边具有结构刚性。我们要避免对它做大的变形等改造动作，而是选取不等式左边的进行改造，这就是避重就轻。

2）不等式右边有多项相加，顺应这个结构特征，基于这个结构特征的暗示和启发，顺应这个结构特征，对左边的进行改造的合情设想应该是把它也对应地拆分为多项，也就是化整为零，构造局部不等式。

3）由可联想到熟悉的不等式,也就是.

4 )容易想到放缩：

5) 由4）可想到要将化整为零，拆分变形为：

6)。

避重就轻是贬义还是褒义，看场景上下文。避实就虚和避重就轻有些时候比较接近。

在解决问题过程中，避重就轻是一个通用的策略，它和进退互化策略有些类似，避开复杂的，退到简单情况去考虑问题。凡是涉及到多路径的问题决策( 从中选择一条最优或较优路径)时，都可以尝试使用它。例如在考试时，先做简单的题，后做复杂的题。数学问题解决中，在使用转化思想解题时，也运用了避重就轻的策略。

在代数式变形过程中，当有多个变形方案时，就可以结合该策略进行决策，选择适当的变形方案。例如在用分离变量法解题时，我们通常有多个变形分离方案，要找出靠谱的可行的变形分离方案时，就需要用到该策略。

例3

  已知求的最小值。

解题分析：

  这道题，通常会想到消元，例如消去中的。进行变形，得到，然后代入。但这样得到的代数式显然比较复杂，也就是不能这样变形，要避开避免这样的变形。

    避重就轻，辩证思维，灵活变通，反其道而行，会想到使用整体思想和面向对象思想对

进行整体换元。

    令可得。代入

= 6    1)

    观察1）式，可发现它接近均值不等式模式，故作如下变形：

，由取等条件易知当t=1时，。

故所求代数式的最小值为1。

常与变与直接-间接的区别和联系

有时解决问题，如果不能直接解决，那就间接。“常与变“与“直接-间接”，两者有类似之处，不同之处是“常与变”层次高，范围广，它包括“直接-间接”。

避重就轻策略中的度量标准和度量算法

在不同类型的问题解决中应用避重就轻策略时，什么是重？什么是轻？应该是有不同的度量标准和度量算法的。

这里用分离变量法解题时的度量标准和度量算法来加以具体说明。

提到分离变量法，要立即联想到庖丁解牛的故事。庖丁可是领悟了解牛之道的，他在解牛时就是避重就轻，顺势而行，顺应自然：依照牛的生理上的天然结构，砍入牛体筋骨相接的缝隙，顺着骨节间的空处（最薄弱的地方）进刀，依从最薄弱的地方(空隙处)进刀，避开紧密相联的地方。显然庖丁在解牛时的度量标准是牛各部位之间联系的紧密程度，也就是结合力的大小。相互联系紧密的结合力大，解牛时要避开，要将这些部位看做一个整体，不要相互分离，例如A骨头和B骨头紧密联在一起，那就把AB作为一个整体，如果在解牛时硬要把它们分开那就容易损坏刀具，庖丁显然不会这样做。

分离变量法解题时，如何靠谱地最优地进行分离？也要遵循和庖丁解牛类似的避重就轻策略与度量标准。这个度量标准，和软件设计中划分模块遵循的高内聚、低耦合原则是一样的。高内聚就是联系紧密，低耦合就是联系的力度较弱。从联系最弱的&较弱的&耦合最小的地方分离分解，避开或保留联系紧密的地方。物理学中的正交分解也是如此。大道是一以贯之的，可见不同领域中的一些核心思想核心原则是相通或相似的，是可以相互佐证的。这种跨领域之间的联系、借鉴、迁移，对我们深刻理解和构建通透系统的数学思维方法论体系是有助益的，这也是本人一直强调构建通透系统的数学思维方法论体系要多学科多领域融合，吸取它们的养分来滋养数学思维方法论体系。

软件设计中的高内聚、低耦合原则示意图

如上图，线段表示相互之间的耦合(联系)，长方形框表示模块。A0和B0之间(A0与B0之间的那条线)的耦合度最小。当我们划分软件模块时，应该从联系最薄弱的A0和B0处下刀进行划分，把它们分为两个模块：A模块和B模块。

这里用同构+分离变量法解题的场景来说明避重就轻策略的运用，题目如下。

例4

分离变量时，可以觉察到e的指数中，是紧耦合，联系紧密，如果把它俩分离，反而会导致问题变得更复杂，可以感觉到这种分离会加速偏离”统一的函数模式”，南辕北辙。因此在分离时要避开顺应它们，不要把它俩分开，也就是要把看成一个整体。得到这样的决策结果后，容易探索得到下面的分离方案和解题方法。

从上面的解法可以看出同构法有”金蝉脱壳”的效果。

这是一道简单的题，复杂些的同构分离变量题，会在上面的（1）式左右两侧出现能抵消的代数项，产生泯灭效应增加题目难度，此时(1)式类似m+n+ok+l+m，不等式左右两边的m会抵消，或部分抵消，当它们具有不同的系数时。此时可以用合情构想泯灭相消模式来复原被消去的代数项。

引用数学家莱布尼兹的一段关于分而治之解决问题的话作为本文的结尾，如下。

莱布尼兹：“不讲分解技巧，分而治之就不大有用。无经验者对问题分解不当，反而会增加困难。分解的主要难点在于怎么分。分解策略之一是按容易求解的方式来分，之二是在弱耦合处下手，切断联系“。