高等数学系列：参数方程所确定的函数求导

关键词：高等数学，参数方程，导数

参数方程，是通过引入一个或多个中间变量（称为参数）来表示曲线上点的坐标之间关系的方程，比如
$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = \dfrac{t^2}{2} \end{cases}$

有些参数方程可以通过以t作为中间桥梁带入，转化为y和x的直接表达式，而有的参数方程比较复杂难以直接求的y和x的表达式，比如

$\begin{cases} x = \ln(1 + t^2) + t \\ y = t - \arctan t \end{cases}$

不管能否将中间变量直接带入，参数方程的求导方法为
一阶导数：
$\frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$

二阶导数：
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{dy}{dx} \right)}{\dfrac{dx}{dt}}$
三阶、四阶导数的求导公式以此类推。

求曲线 $x = 1 + t^2$ , $y = t^3$ 在点 $(5, 8)$ 处的切线方程。
解:
对参数方程求导
$\frac{dy}{dx} = \frac{(t^3)'}{(1 + t^2)'} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}$

当 $x = 5$ ， $y = 8$ 时，解得 $t = 2$ ，则：
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$

切线方程为 $y = 3x + b$ ，将点 $(5, 8)$ 代入：
$8 = 3 \cdot 5 + b \Rightarrow b = 8 - 15 = -7$

因此，切线方程为：
$y = 3x - 7$

设 $x = \sin t$ , $y = t \sin t + \cos t$ ，求 $\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{t=\pi/4}$ 和 $\left.\dfrac{d^2y}{dx^2}\right|_{t=\pi/4}$ 。

解:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(t \sin t + \cos t)'}{(\sin t)'} = \frac{\sin t + t \cos t - \sin t}{\cos t} = \frac{t \cos t}{\cos t} = t$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\left( \dfrac{dy}{dx} \right)'_t}{(\sin t)'} = \frac{(t)'}{\cos t} = \frac{1}{\cos t}$

因此：

$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=\pi/4} = \frac{\pi}{4}$

$\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{t=\pi/4} = \frac{1}{\cos(\pi/4)} = \frac{1}{\sqrt{2}/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$