高等数学系列：对数求导技巧

关键词：高等数学，导数

对数求导法的场景

主要针对两种场景

幂指函数 $y = f(x)^{g(x)}$ ，这种既不能用指数函数求导公式，也不能用幂函数求导公式，需要引入对数将g(x)从指数上降下来
有幂次方且配合出现乘积、商的复杂式子，因为在引入对数之后，幂次方能从指数位置降下来，乘积可以转化为相加，商可以转化为相减，从而方便导数计算

针对以上两种场景，两边同取对数ln，然后当作隐函数求导即可。

幂指函数场景

[例题1]

求 $y=(lnx)^x$ 的导数

解:
两边同取对数 $\ln$ ：

$\ln y = x \ln(\ln x)$

当作隐函数求导：

$\frac{1}{y} \cdot y' = \ln(\ln x) + \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} \cdot x$

化简得：

$\frac{y'}{y} = \ln(\ln x) + \frac{1}{\ln x}$

$y' = y \left( \ln(\ln x) + \frac{1}{\ln x} \right)$

将 $y = (\ln x)^x$ 代入，使导数表达式只含 $x$ ：

$y' = (\ln x)^x \left( \ln(\ln x) + \frac{1}{\ln x} \right)$

有幂次方且配合出现乘积、商的复杂式子

[例题2]

求函数 $y = \dfrac{x^2}{1 + x} \cdot \sqrt[3]{\dfrac{x + 3}{(x - 2)^2}}$

解:
此题有2次幂，1/3次幂，还有相除和相乘，整体式子复杂，直接求导几乎不可能，所以考虑做对数处理，两边取对数，则
$\ln y = \ln(x^2) - \ln(1 + x) + \ln\left((x + 3)^{1/3}\right) - \ln\left((x - 2)^{2/3}\right)$
$= 2\ln x - \ln(1 + x) + \frac{1}{3}\ln(x + 3) - \frac{2}{3}\ln(x - 2)$
两边对 $x$ 求导：

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{3(x+3)} - \frac{2}{3(x-2)}$

$y' = y \left( \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{3(x+3)} - \frac{2}{3(x-2)} \right)$

将 $y = \dfrac{x^2}{1 + x} \cdot \sqrt[3]{\dfrac{x + 3}{(x - 2)^2}}$ 代入得：

$y' = \frac{x^2}{1 + x} \cdot \sqrt[3]{\frac{x + 3}{(x - 2)^2}} \left( \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{3(x+3)} - \frac{2}{3(x-2)} \right)$

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