用点差法破解抛物线的弦与切线问题：2017年文数全国卷A题20

用点差法破解抛物线的弦与切线问题：2017年文数全国卷A题20

20.（12分）

设 A,B 为曲线 C:y=\dfrac{x^2}{4} 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4.

（1）求直线 AB 的斜率;

（2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM \perp BM，求直线 AB 的方程.

【解第1问】

∵ A,B 是曲线 C:y=\dfrac{x^2}{4} 上两点，

∴ \dfrac{y_{_A}-y_{_B}}{x_{_A}-x_{_B}}=\dfrac{x_{_A}+x_{_B}}{4}=1

所以，直线 AB 的斜率 k=1 .

【解第2问】

设想 PQ 是一条与 AB 平行的弦。根据第1问中的推导可知：当弦 PQ 平行移动时，P 与 Q 的横坐标之和保持不变，仍为 4.

所以，PQ 中点的横坐标恒为 2. P,Q 两点无限靠近，弦 PQ 就成为抛物线的切线。所以，x_{_M}=2,y_{_M}=1

设 AB 的中点为 T(2,t), 则 AB 方程为：y=x-2+t

记 A,B 两点的坐标为：(x_1,y_1),(x_2,y_2)

联立弦与抛物线的方程可得：x^2-4x-4t+8=0

x_1+x_2=-4,\;x_1x_2=8-4t

(x_1-x_2)^2=16-4(8-4t)=16t-16

|AB|^2=(1+k^2)(x_1-x_2)^2=32(t-1)

AM\perp BM \Rightarrow\; \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM}=0

AM\perp BM \Rightarrow\; |AB|=2|TM|

\Rightarrow\;32(t-1)=4(t-1)^2

\Rightarrow\;(t-1)(t-5)=0

\Rightarrow\; t_1=1,\; t_2=5

t_1=1 其实就是点 M 的坐标，应舍弃。所以，直线 AB 的方程为： y=x+3

【提炼与提高】

\boxed{\mathbb{Q}} 如何根据中点坐标计算抛物线的弦及切线的斜率？

\boxed{\mathbb{A}} 『点差法』

\boxed{\mathbb{Q}} 如何利用已经条件中的垂直关系？

\boxed{\mathbb{A}} 有以下方向可选：（1）向量内积为0；（2）勾股定理；（3）斜率之积为-1；（4）斜边上的中线等于斜过的一半；

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「2014年文数全国卷A题20」

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