在域F上有首一多项式方程=0.
由Vieta定理其根的基本对称多项式均可用F中的元素表出。
即存在多项式组A
=
=
当Sn中的任何置换作用在{
}上时，多项式组A被保持不变。
但如果多项式组A被加入了更多的多项式，那么想保持每一个多项式，就不能从Sn中任意的选取置换，但可见可行的必为Sn的一子群，换句话说，在多项式组A扩大的时候，保持A不变的置换群会减小。
例如，如果在A中添加入新多项式，c在F的某个扩域中，那么保持A’的置换就会变少，缩为Sn的某个子群。
可见，添加多项式之前我们需要扩展数域，由于添加的都是根的多项式，因此只要扩到方程的分裂域，就足够保证根的多项式均在其中了，换句话说，只要把考虑范围扩展到方程的分裂域，就可以在A中任意添加多项式了。
添加的多项式一定是不对称的才有意义（因为任何对称多项式本质上都可以别最初的Vieta定理中的基本对称多项式表出）不对称多项式的意义是：其中的元素地位不是完全对等的，每加入不对称多项式，根之前被“区分”的就越明确，Galois理论说：如果添加不对称多项式到某个程度，使得保持多项式组的置换群只有单位置换，则方程可解。该定理可以直观理解为：如果添加某些非对称多项式，使得每个根都是无可替代的——不能被置换为别的根，则方程可解。所以可解和区分根的地位有很大关系。
和课本语言的联系——
其实对根的置换就是E的F-自同构。事实上从域的语言出发可以知道这类分裂域的F-自同构的行为均是保持F中的“朴素”的数不变，只改变方程的根这些“奇异”的数（因为方程的根一般都很丑，所以在基域中的数看来都是奇形怪状的），改变的方式是奇异的数之间发生置换。保持多项式组不变就是保持根之间的代数关系。代数关系就像领导人之间的关系，能展示给民众看的——即在基域上的代数关系，都是和和美美一片繁荣（Vieta定理），但事实上x1和x2之间很可能有一些蝇营狗苟的龌龊事——例如x1-x2是某个奇丑无比的数，这就不能在基域上看，要扩基域；平行地，领导人关系中的矛盾冲突部分也不可能展示给民众，想要了解就要深入挖掘。
利用代数关系区分出各个根是很重要的。如果无论怎样添加非对称多项式，保持多项式组的群总是非单位群，其中有非平凡置换，也就是说有一些根无论取怎样苛刻的代数关系，他们之间总允许发生非平凡的置换而保持一切代数关系不变——仿佛置换从未带来任何变化。换句话说，他们的地位是可以彼此替代的，即“代数上不可分辨的”。因此用有限次根式——这种代数手段解出他们，就无望了，这是Galois定理的另一面告诉我们的。
