线性规划：2011年全国卷题13

2011年全国卷题13

若变量 $x,y$ 满足约束条件 $\left\{ \begin{array}\\ 3 \leqslant 2x+y \leqslant 9,\\ 6 \leqslant x-y \leqslant 9, \end{array} \right.$ 则 $z=x+2y$ 的最小值为 $\underline{\mspace{100mu}}$ .

【解析】

$3 \leqslant 2x+y \leqslant 9$ 等价于： $-2x+3 \leqslant y \leqslant -2x+9$

对应的边界是以下两条直线：

$l_1:y=-2x+3$

$l_2:y=-2x+9$

$6 \leqslant x-y \leqslant 9$ 等价于： $y+6 \leqslant x \leqslant y+9$

对应的边界是以下两条直线：

$x=y+6$

$x=y+9$

在图上可以看出，满足约束条件的点都在绿色四边形内.

四边形的上方的顶点为 $(5,-1)$

$z=x+2y$ 等价于 $y= -\dfrac{1}{2} x + \dfrac{z}{2}$

这是一个直线族，其斜率为 $- \dfrac{1}{2}$

该直线族中，经过顶点 $(4,-5)$ 的是 $-6=x+2y$

所以， $z=x+2y$ 的最小值为 $-6$ .

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