分析力学基本原理介绍7.7：最小作用量原理

$\bullet$ 现在我们讨论另一个与哈密顿体系有关的变分原理。它涉及另一种变分—— $\Delta$ -变分。用于推导拉格朗日方程的哈密顿原理所用的是 $\delta$ -变分。对于 $\delta$ -变分，我们会固定路径两个端点，即， $\delta q_i(t_1) = \delta q_i(t_2) = 0$

相比之下， $\Delta$ -变分在使用条件上会宽松一些。通常情况下，对于 $\Delta$ -变分，错误路径两个端点的时间间隔跟正确路径相比会有所不同，而且端点所对应的坐标也可能改变。

$\bullet$ 对于 $\Delta$ -变分，我们仍然可以使用与 $\delta$ -变分相同的参化方程：

$q_i(t,\alpha) = q_i(t,0) + \alpha \eta_i(t)$

它代表一个路径曲线家族。

$\bullet$ 作用量的 $\Delta$ -变分被定义为：

$\Delta \int_{t_1}^{t_2}\mathscr{L}\;dt \equiv \int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_2 + \Delta t_2}\mathscr{L}(\alpha)\;dt - \int_{t_1}^{t_2}\mathscr{L}(0)\;dt$

其中 $\mathscr{L}(\alpha)$ 代表剩下无数条错误路径； $\mathscr{L}(0)$ 代表正确路径。

$\bullet$ 作用量的 $\Delta$ -变分主要由两部分造成：

1）积分边界的变分（路径端点的变分）

2）被积函数的变分（偏离正确路径）

定义中的第一项近似到一阶小量就等于被积函数乘以边界的变分；第二项则与之前的 $\delta$ -变分类似：

$\Delta \int_{t_1}^{t_2}\mathscr{L}\;dt = \mathscr{L}(t_2)\Delta t_2 - \mathscr{L}(t_1)\Delta t_1 + \delta\int_{t_1}^{t_2}\mathscr{L}\;dt$

$\bullet$ 让我们先考虑第二项。变化的路径仍可以使用跟之前相同的参化方程，不同的是，现在路径端点处 $q_i$ 的 $\delta$ -变分并不等于零，所以我们要保留由分部积分法得到的端点项：

$\begin{align*}\mathbf{\delta} \int_{t_1}^{t_2}\mathscr{L}\;dt &= \sum_i\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}\delta q_i + \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}\delta\dot{q_i}\\&= \sum_i \int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_i}\delta q_idt + \sum_i\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}\delta\dot{q_i}dt\\&= \sum_i\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_i}\delta q_idt + \sum_i \left.\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_i}}\delta q_i\right|_{t_1}^{t_2} - \sum_i\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}\right)\delta q_idt\\&= \sum_i\int_{t_1}^{t_2}\left[\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}\right)\right]\delta q_idt + \sum_i \left.\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}\delta q_i\right|_{t_1}^{t_2}\\&= \sum_i \left.\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}\delta q_i\right|_{t_1}^{t_2}\end{align*}$

根据拉格朗日方程，带方括号的第一项消失。

代入作用量变分中，得

$\begin{align*}\Delta \int_{t_1}^{t_2}\mathscr{L}\;dt &= \mathscr{L}(t_2)\Delta t_2 - \mathscr{L}(t_1)\Delta t_1 + \delta\int_{t_1}^{t_2}\mathscr{L}\;dt\\&= \left.(\mathscr{L}\Delta t + \sum_ip_i\delta q_i)\right|_{t_1}^{t_2}\end{align*}$

$\bullet$ 接下来我们需要将 $q_i$ 在端点 $t_1$ ， $t_2$ 的 $\delta$ -变分用 $q_i$ 在正确路径以及错误路径端点处的 $\Delta$ -变分 $\Delta q_i$ 来表示。我们需要找出 $q_i$ 的两种变分之间的关系。

路径家族的参化方程：

$q_i(t_1,\alpha) = q_i(t_1,0) + \alpha\eta_i(t_1)$

现在考虑端点 $t_1$ 。端点变化 $\Delta t_1$ 导致路径的变分为：

$\begin{align*}\Delta q_i(t_1) &= q_i(t_1 + \Delta t_1,\alpha) - q_i(t_1,0)\\&= q_i(t_1 + \Delta t_1,0) + \alpha\eta_i(t_1 + \Delta t_1) - q_i(t_1,0)\end{align*}$

当 $\Delta t_1$ 和 $\alpha$ 均足够小时（ $<\!< 1$ ），

可对 $q_i(t_1 + \Delta t_1,0)$ 以及 $\eta_i(t_1 + \Delta t_1)$ 使用最优线性展开：

$q_i(t_1 + \Delta t_1,0) = q_i(t_1,0) + \frac{\partial q_i}{\partial t}\Delta t_1 = q_i(t_1,0) + \dot{q_i}\Delta t_1$

$\eta_i(t_1 + \Delta t_1) = \eta_i(t_1) + \frac{\partial \eta_i}{\partial t}\Delta t_1 = \eta_i(t_1)$ （已将二阶导舍去）

于是

$\Delta q_i(t_1) = \dot{q_i}\Delta t_1 + \alpha\eta_i(t_1)$

根据 $\delta$ -变分的定义， $\delta q_i = \frac{\partial q_i}{\partial \alpha}\alpha$ （ $\alpha <\!< 1$ ），有 $\delta q_i = \eta_i(t) \alpha$

替换后我们就得到了两种变分的关系式：

$\Delta q_i(t_1) = \dot{q_i}\Delta t_1 + \delta q_i(t_1)$

同理，对于端点 $t_2$ ，有

$\Delta q_i(t_2) = \dot{q_i}\Delta t_2 + \delta q_i(t_2)$

所以

$\boxed{\begin{cases}\delta q_i(t_1) = \Delta q_i(t_1) - \dot{q_i}\Delta t_1\\\delta q_i(t_2) = \Delta q_i(t_2) - \dot{q_i}\Delta t_2\end{cases}}$

再代入作用量变分：

$\begin{align*}\Delta \int_{t_1}^{t_2}\mathscr{L}\;dt &= \left[\mathscr{L}\Delta t + \sum_i p_i(\Delta q_i - \dot{q_i}\Delta t)\right]_{t_1}^{t_2}\\&= \left.(\sum_i p_i\Delta q_i - \mathscr{H}\Delta t)\right|_{t_1}^{t_2}\end{align*}$

如果没有额外的条件，至此就不能再继续了。

$\bullet$ 为了得到最小作用量原理，系统需要满足下列三个条件：

1）系统的拉格朗日函数 $\mathscr{L}$ 以及哈密顿函数 $\mathscr{H}$ 不能显含时间，这也意味着 $\mathscr{H}$ 是一个守恒量。

2）变分需保证不管是正确还是错误路径的哈密顿函数 $\mathscr{H}$ 都是守恒的。

3）所有错误路径端点坐标的变分需为零（时间的变分 $\Delta t$ 不为零！）。

第三条是间接为第二条服务的。哈密顿函数 $\mathscr{H} = p_i\dot{q_i} - \mathscr{L}$ ，若想要保证它始终是一个守恒量， $q_i(t)$ 就不能改变。由于不同的路径会有不同的速度 $\dot{q_i}(t)$ ，为保证 $\mathscr{H}$ 守恒，时间必须要变化。

$\bullet$ 满足上述三个条件的变分原理则简化为：

$\begin{align*}\Delta \int_{t_1}^{t_2}\mathscr{L}\;dt &= -\mathscr{H}(\Delta t_2 - \Delta t_1)\\\Delta\int_{t_1}^{t_2}(\sum_i p_i\dot{q_i} - \mathscr{H})\;dt &= -\mathscr{H}(\Delta t_2 - \Delta t_1)\end{align*}$

$\implies \boxed{\Delta\int_{t_1}^{t_2}\sum_i p_i\dot{q_i}\;dt = 0}$

这个简洁的表达式就是最小作用量原理(principle of least action)。

积分 $\int_{t_1}^{t_2}\sum_i p_i\dot{q_i}\;dt = 0$ 在上世纪的相关书籍中被称为作用量或作用量积分。现在人们口头常说的作用量通常指由哈密顿原理得来的积分 $\int_{t_1}^{t_2}\mathscr{L}\;dt$ 。所以为了区分，前者有时也被称为简缩作用量(abbreviated action)。

$\bullet$ 最小作用量原理形式多样。我们知道，在非相对论力学中，如果广义坐标不显含时间，动能 $T$ 的所有齐次展开项中只有速度的二次项不为零：

$T = \frac{1}{2}M_{jk}(q)\dot{q}_j\dot{q}_k$

如果势函数不显含速度，拉格朗日函数的齐次展开项中速度的零次项 $\mathscr{L}_0 = -V$ ，于是：

$\mathscr{L} = \mathscr{L}_2 + \mathscr{L}_1 + \mathscr{L}_0 = T - V$

正则动量

$p_i = \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}} = \frac{\partial(T - V)}{\partial \dot{q_i}} = \frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}$

利用欧拉齐次函数定理

$\sum_i p_i\dot{q_i} = \sum_i \frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i} = 2T$

代入最小作用量原理中，可以得到简单形式：

$\boxed{\Delta\int_{t_1}^{t_2}T\;dt = 0}$

而如果这时系统所受合外力也为零（哈密顿函数不显含时间），总能量守恒：

$\frac{d\mathscr{H}}{dt} = \frac{d(T + V)}{dt} = \frac{dT}{dt} = 0$

动能也同样不含有时间。

于是最小作用量原理又可被进一步简化为：

$\Delta\int_{t_1}^{t_2}T\;dt = T\Delta\int_{t_1}^{t_2}\;dt = T\Delta(t_2 - t_1)$

$\implies \boxed{\Delta (t_2 - t_1) = 0}$

这个惊人结果告诉我们，在位形空间的所有路径中，系统会选择一条使得通过两端点用时最短（严格来讲是取得极值）的路径运动。该形式的最小作用量原理又被称为费马几何光学原理(Fermat's principle in geometrical optics)或最短时间原理(principle of shortest time)，它是光线传播需要遵守的法则：一条介于两点之间的光束总是会选择一条用时最短的路径传播。

最后编辑于：2020.03.12 00:05:51

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