解析几何之目：1987年解析几何大题的解法之三~参数方程

1987年理数全国卷题21

定长为 3 的线段 AB 的两端点在抛物线 y^2=x 上移动，记线段 AB 的中点为 M，求点 M 到 y 轴的最短距离，并求此时点 M 的坐标.

1987年理数全国卷

【解答】

从几何角度分析，弦 AB 在抛物线上移动过程中，其倾角是在不断变化的。

设点 M 坐标为 (x_0,y_0) ，AB 的倾角为 \theta，则 A,B 两点的坐标可表示如下：

\left\{ \begin{array} \\ x_A=x_0+\dfrac{3}{2} \cos \theta \\ \\ y_A=x_0+\dfrac{3}{2} \sin \theta \\ \end{array} \right.

\left\{ \begin{array} \\ x_B=x_0-\dfrac{3}{2} \cos \theta \\ \\ y_B=x_0-\dfrac{3}{2} \sin \theta \\ \end{array} \right.

代入抛物线方程可得：

\left\{ \begin{array} \\ y_0^2+\dfrac{9}{4}\sin^2\theta + 3y_0\sin\theta=x_0+\dfrac{3}{2}\cos\theta \\ \\ y_0^2+\dfrac{9}{4}\sin^2\theta - 3y_0\sin\theta=x_0-\dfrac{3}{2}\cos\theta \\ \end{array} \right.

两式相减可得：

6y_0\sin\theta=3\cos\theta

y_0=\dfrac{1}{2}\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}

两式相加可得：

x_0=y_0^2+\dfrac{9}{4}\sin^2\theta

=\dfrac{1}{4}\dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}+\dfrac{9}{4}\sin^2\theta

=\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{\sin^2\theta}+9\sin^2\theta)-\dfrac{1}{4}

点 M 的参数方程为：

\left\{ \begin{array} \\ y = \dfrac{1}{2}\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} \\ \\ x = \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{\sin^2\theta}+9\sin^2\theta)-\dfrac{1}{4} \\ \end{array} \right.

在以上方程中，( 0 \lt \theta \lt \pi )

\dfrac{1}{\sin^2\theta}+9\sin^2\theta \geqslant 6, 仅当 \sin^2\theta=\dfrac{1}{3} 时等号成立。

\dfrac{1}{\sin^2\theta}+9\sin^2\theta = 6 \Rightarrow x_0=\dfrac{5}{4}

\sin^2\theta=\dfrac{1}{3} \Rightarrow \cos^2\theta=\dfrac{2}{3}

\Rightarrow \dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=2 \Rightarrow y_0=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}

综上可知：点 M 到 y 轴的最短距离为 \dfrac{5}{4}; 此时点 M 的坐标为：(\dfrac{5}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{2}) 或 (\dfrac{5}{4},-\dfrac{\sqrt{2}}{2})

【验算一下】

在以上参数方程中，令 \theta=\dfrac{\pi}{2}，可得 x=\dfrac{9}{4}, y=0. 注意这是点 M 的坐标，与之对应的 A,B 两点的坐标为：(\dfrac{9}{4},\pm \dfrac{3}{2}).

这是当弦与 x 轴垂直的情况。

那么，点 M 的轨迹究竟是什么样呢？根据前面的方程，可以作出一个示意图。在图中可以看出，它的轨迹类似于横卧的m 或金拱门（麦当劳）标识。

金拱门标识躺下了

【提炼与提高】

应用参数法求解，数形结合，比较直观。

本题还有以下解法：
解析几何之目：1987年解析几何大题的解法之一~通解
解析几何之目：1987年解析几何大题的解法之二~换元法

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