一、线性算子

$X,Y$ 是线性空间 $T:D(T)\subset X \rightarrow Y$ 满足对于任意的 $\alpha,\beta \in K$ 对于任意的 $x_1,x_2\in D(T)$ ,则 $\alpha x_1+ \beta x_2 \in D(T)$ 并且 $T(\alpha x_1+\beta x_2) = \alpha T(x_1)+\beta T(x_2)$

其中：定义域 $D(T)$ 是 $X$ 的线性子空间。
值域 $R(T)$ 是 $Y$ 的线性子空间。

二、闭算子

闭算子是泛函分析中的一个关键概念，用于研究无限维空间中的线性算子。闭算子的定义与算子的图像（graph）密切相关。

定义：设 $X$ 和 $Y$ 是巴拿赫空间（Banach spaces）， $T: D(T) \rightarrow Y$ 是一个线性算子，其中 $D(T)$ 是 $T$ 的定义域，且 $D(T) \subseteq X$ 。我们称 $T$ 是一个闭算子，如果它的图像（graph）在 $X \times Y$ 中是闭的。

具体来说， $T$ 的图像定义为：
$\text{Graph}(T) = \{ (x, Tx) \in X \times Y \mid x \in D(T) \}$

如果 $\text{Graph}(T)$ 在 $X \times Y$ 中是闭集，则称 $T$ 是闭算子。

等价定义：一个线性算子 $T$ 是闭算子，当且仅当对于任意序列 $\{x_n\} \subseteq D(T)$ ，如果 $x_n \rightarrow x$ 在 $X$ 中收敛，且 $Tx_n \rightarrow y$ 在 $Y$ 中收敛，那么 $x \in D(T)$ 且 $Tx = y$ 。
闭算子的例子

微分算子：考虑 $X = Y = L^2([0,1])$ ，定义微分算子 $T$ 为 $Tf = f'$ ，其中 $D(T) = \{ f \in L^2([0,1]) \mid f \text{ 绝对连续且 } f' \in L^2([0,1]) \}$ 。这个微分算子是一个闭算子。
有界线性算子：任何有界线性算子（即连续线性算子）都是闭算子。因为有界线性算子的图像在 $X \times Y$ 中是闭的。

闭算子的性质

闭图像定理：如果 $T$ 是一个闭算子，并且 $D(T)$ 是闭的，那么 $T$ 是有界的（即连续的）。这个定理在巴拿赫空间中成立。
闭算子的延拓：闭算子可以通过闭包来延拓，使其成为更大的闭算子。

应用：闭算子在研究偏微分方程、量子力学中的算子理论以及泛函分析的其他领域中具有重要应用。例如，在量子力学中，哈密顿算子（Hamiltonian）通常是一个闭算子。

连续线性算子的闭延拓后一定是闭算子。

三、算子的图

在泛函分析中，算子的图（Graph of an Operator）是一个重要的概念，它用于描述算子的定义域和值域之间的关系。具体来说，对于一个线性算子 $T: D(T) \subseteq X \rightarrow Y$ ，其中 $X$ 和 $Y$ 是巴拿赫空间， $D(T)$ 是 $T$ 的定义域，算子 $T$ 的图定义为：

$\text{Graph}(T) = \{ (x, Tx) \in X \times Y \mid x \in D(T) \}$

这个集合 $\text{Graph}(T)$ 是 $X \times Y$ 的一个子集【子空间】，它包含了所有 $(x, Tx)$ 对，其中 $x$ 是 $T$ 的定义域中的元素，而 $Tx$ 是 $T$ 在 $x$ 处的值。

如果 $T$ 是闭算子：等价于，它的图是 $X\times Y$ 中的闭集。
如果 $T$ 是闭算子， $T$ 是单射，可以得到 $T^{-1}$ 是闭算子。
如果 $T$ 是闭算子，那么 $N(T)=\{x\in D(T),T=0\}\subset X$ 是闭集。

定理四：闭图像定理

定义在闭集上的闭算子是有界的(连续)。

$C_1 \|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq C_2 \|x\|_1.$

*注记：我们一般只关心的是闭无界算子，从而 $D(T)$ 不是闭的。进而我们只关心稠定时的闭无界算子。

定理五:

$T$ 是闭算子，单射，则 $R(T)$ 是闭的等价于 $T^{-1}$ 是有界算子。

例六：微分算子的无界性

在 $X=Y=C[0,1]$ 上， $T=\frac{d}{dt}$ 是微分算子， $D(T)= C'[0,1]$ 是无界算子
举例：令 $x_n(t)=t^n$ 可以用这个序列证明微分算子的无界性。

定义七；可闭算子

设 $T: D(T) \subseteq X \to Y$ 是定义在Banach空间 $X$ 到 $Y$ 的线性算子，其定义域 $D(T)$ 在 $X$ 中稠密（或不要求稠密，取决于具体文献）。

若 $T$ 的图像（Graph）的闭包 $\overline{G(T)}$ 仍是一个算子的图像（即不存在多值性），则称 $T$ 是可闭的。
此时，存在唯一的闭算子 $\overline{T}$ ，称为 $T$ 的闭包，满足：
$G(\overline{T}) = \overline{G(T)} \quad \text{且} \quad \overline{T} \supseteq T.$

定理八：可闭合算子的判定

判断可闭性的核心条件是：

若对任意序列 $\{x_n\} \subseteq D(T)$ ，当 $x_n \to 0$ 且 $T x_n \to y$ ，必有 $y = 0$ 。
这意味着在定义域的极限点处，算子的行为是“一致”的，不会出现矛盾的值。

例九（可闭算子）

设 $X = Y = L^2(\mathbb{R})$ ，定义算子 $Au = \frac{du}{dx}$ 。
定义域 $D(A) = \left\{ u \in L^2, \ u \text{ 存在经典一阶连续导数 } u', \text{ 且 } u' \in L^2(\mathbb{R}) \right\} = L^2(\mathbb{R}) \cap C^1(\mathbb{R}) \cap \left\{ u' \in L^2(\mathbb{R}) \right\}$ 。