向量与曲线：2017年数学全国卷B题20

20.（12分）

设 $O$ 为坐标原点，动点 $M$ 在椭圆 $C:\dfrac{x^2}{2} + y^2=1$ 上，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{NP} = \sqrt{2} \overrightarrow{NM}$ .

（1）求点 $P$ 的轨迹方程;

（2）设点 $Q$ 在直线 $x=-3$ 上，且 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{PQ} = 1$ . 证明∶过点 $P$ 且垂直于 $OQ$ 的直线 $l$ 过 $C$ 的左焦点 $F$ .

【解答问题1】

由椭圆 $C$ 的方程可得点 $M$ 的坐标取值范围： $x_{_M} \in [-\sqrt{2},\sqrt{2}],\; y_{_M} \in [-1,1]$

由题设条件可知： $x_{_N}=x_{_M},\; y_{_N}=0$

设点 $P$ 的坐标为 $P(x_0,y_0)$

∵ $\overrightarrow{NP} = \sqrt{2}\, \overrightarrow{NM}$ ， ∴ $x_0=x_{_M}$ , $y_0-0=\sqrt{2} (y_{_M}-0)$ ,

∴ $y_{_M}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}y_0$ , 代入椭圆 $C$ 的方程可得： $\dfrac{x^2_0}{2} + \dfrac{y^2_0}{2} =1$ 且 $x_0 \in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$

结论：点 $P$ 的轨迹方程为 $x^2+y^2=2$

【解答问题2】

“ 过点 $P$ 且垂直于 $OQ$ 的直线 $l$ 过 $C$ 的左焦点 $F$ . ” 等价于： $FP \perp OQ$ ；又等价于： $\overrightarrow{FP} \cdot \overrightarrow{OQ} = 0$

点 $Q$ 在直线 $x=-3$ 上，其坐标可以记作： $Q(-3,t)$

根据问题1的结论，点 $P$ 的坐标可以记作： $P(\sqrt{2} \cos\theta, \sqrt{2} \sin\theta)$

$\overrightarrow{PQ}=(-3-\sqrt{2}\cos\theta, t-\sqrt{2}\sin\theta)$

∵ $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{PQ} = 1$

∴ $\sqrt{2}\cos\theta(-3-\sqrt{2}\cos\theta) + \sqrt{2}\sin\theta(t-\sqrt{2}\sin\theta)=1$

$-3\sqrt{2}\cos\theta+\sqrt{2}\sin\theta=3$

由椭圆 $C$ 的方程可知： $c^2=2-1=1,\;c=1$ , 左焦点坐标为 $F(-1,0)$ .

∴ $\overrightarrow{FP}=( \sqrt{2}\cos\theta+1,\; \sqrt{2}\sin\theta)$

∴ $\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{FP} = -3(\sqrt{2}\cos\theta+1) + t(\sqrt{2}\sin\theta) = 0$

∴ $FP \perp OQ$ .

证明完毕.

【提炼与提高】

代入法是求轨迹方程的常用方法。使用代入法，一定要注意坐标的取值范围。

问题2的解答使用了转化的策略，这是高中数学中的基本思想方法，具有广泛的应用。

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