地标性高考数学题:2013年数学全国卷A题21

椭圆:2013年数学全国卷A题21(文理同题)

(21)(本小题满分12分)

已知圆 M:(x+1)^2+y^2=1,N:(x-1)^2+y^2=9, 动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C.

(I)求 C 的方程;

(Ⅱ)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求 |AB|.


【解答第1问】

M 的圆心为 M(-1,0), 半径为 1; 圆N的圆心为 N(1,0), 半径为 3.

记圆 P 的半径为 R,则 |PM|=1+R,\;|PN|=3-R

|PM|+|PN|=4

∴ 点 P 的轨迹是以 M,N为焦点的椭圆,且 2a=4,c=1.

b^2=a^2-c^2=3

∴ 曲线 C 的方程为 \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 (x \neq -2).


【解答第2问】

如果以椭圆的左焦点为极点,极坐标方程为 \rho=\dfrac{a(1-e^2)}{1-e \cos\theta}

\theta=0, \rho 值最大,且 \rho=a(1+e)=a+c

所以,|MP| 的最大值为 a+c. 相应的点 P 坐标为 P(2,0). 圆 P 半径 R=2.

M 与圆 P 的公共切线共有 3 条.

其中,l_3 的方程为: x=0

这条直线与曲线 C 的交点为 (0,\sqrt{3}),(0,-\sqrt{3}), 相应的弦长为 |AB|=2\sqrt{3}

若直线方程为 x=\lambda y +t, 其与椭圆的公共点满足如下方程:

\left\{ \begin{array}\\ x=\lambda y +t \\ 3 x^2 + 4 y^2-12=0 \\ \end{array} \right.

消元后得:(3 \lambda^2+4) y^2 -6\lambda ty +3(t^2-4)=0

y_1+y_2= \dfrac {6\lambda t} {3\lambda^2+4}

y_1y_2= \dfrac {3(t^2-4)} {3\lambda^2+4}

(y_1-y_2)^2 = \dfrac {4 \times 12} {3\lambda^2+4} (3\lambda^2-t^2+4)

|AB|^2 = 4 \times 12 \times \dfrac { (\lambda^2+1)} { (3\lambda^2+4) } \times (3\lambda^2-t^2+4)

l_1,l_2 关于 x 轴对称,两条直线所对应的弦长相等。只要求出其中一条即可。

如上图所示,经过切点的半径与切线垂直。记切线 l_1 的倾角为 \alpha, 则 \sin\alpha= \dfrac {1} {3}

1 + \cot^2 \alpha = \dfrac {1} { \sin^2 \alpha } = 9

\cot ^2 \alpha = 8

\cot \alpha = \pm 2 \sqrt{2}

l_1,l_2 的方程为: x = \pm 2 \sqrt{2} y - 4

代入以上公式可得:|AB| = \dfrac {9} {5}


【提炼与提高】

高考命题的原则是:「基于教材,高于教材。」 此题可以称得上是这方面的典型范例。

为了成功解答本题,需要闯过以下关卡:

第1关:根据已知条件求 C 的方程。

解答的关键在于:应用几何分析,得出结论:动点 PM,N 的距离之和为定值。这是一道课本题。假如考生认真对待教科书的习题,第1问不难得分。

第2关:当圆 P 的半径最长时,点 P 在什么位置?

从直观上看,可以猜出结论:当点 P 在椭圆的右顶点,圆 P 的半径最长。但从数学角度来说,还需要加以论证。用椭圆的极坐标方程来论证,是效率较高的办法。

第3关:圆 P 与圆 M 的公切线有几条?

因为这两个圆相切,所以有3条公切线。其中一条与 x 轴垂直,斜率不存在。部分考生可能因为漏解而丢分。

第4关:求椭圆的弦长

弦长问题是解析几何中的典型问题,典型的解法是用韦达定理。笔者提供的解法有两个特点:

1)直线方程设为 x=\lambda y+t. 这种形式包含了倾角等于 90° 的情况,不包含倾角为 0 的情况。

2)没有使用 \lambda,t 的具体值,而是带着参数计算,得出公式后,再代入具体的参数值,求出弦长。

这样做的原因在于:人在考场上高度紧张,在计算 \lambda 或者 k 值的过程中很容易出错;使用通用的形式计算,在平时多练习,完全可以做到又快又准。这一做法也算是一条考试的小技巧。

第5关:求公切线的方程

这里的关键是求出切线的倾角的正切(或者余切)。针对本题的具体情况,如果用代数方法,是比较麻烦的,但从几何角度分析,很快就得出结论。


总的说来,本题综合性较强。以有限的篇幅考查了以下几个方面的知识:

『直线与圆的关系』

『圆与圆的关系』

『求弦长的方法』

『数形结合,几何开路』

这样的题,就可以称为:地标性考题。


最后编辑于
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 214,172评论 6 493
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 91,346评论 3 389
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 159,788评论 0 349
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 57,299评论 1 288
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 66,409评论 6 386
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 50,467评论 1 292
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 39,476评论 3 412
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 38,262评论 0 269
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 44,699评论 1 307
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 36,994评论 2 328
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 39,167评论 1 343
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 34,827评论 4 337
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 40,499评论 3 322
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 31,149评论 0 21
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 32,387评论 1 267
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 47,028评论 2 365
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 44,055评论 2 352

推荐阅读更多精彩内容