椭圆:2013年数学全国卷A题21(文理同题)
(21)(本小题满分12分)
已知圆 圆 动圆 与圆 外切并且与圆 内切,圆心 的轨迹为曲线 .
(I)求 的方程;
(Ⅱ) 是与圆 ,圆 都相切的一条直线,与曲线 交于 两点,当圆 的半径最长时,求 .
【解答第1问】
圆 的圆心为 , 半径为 ; 圆N的圆心为 , 半径为 .
记圆 的半径为 ,则
∴
∴ 点 的轨迹是以 为焦点的椭圆,且 .
∴ 曲线 的方程为 .
【解答第2问】
如果以椭圆的左焦点为极点,极坐标方程为
当 , 值最大,且
所以, 的最大值为 . 相应的点 坐标为 . 圆 半径 .
圆 与圆 的公共切线共有 条.
其中, 的方程为:
这条直线与曲线 的交点为 , 相应的弦长为
若直线方程为 , 其与椭圆的公共点满足如下方程:
消元后得:
关于 轴对称,两条直线所对应的弦长相等。只要求出其中一条即可。
如上图所示,经过切点的半径与切线垂直。记切线 的倾角为 , 则
的方程为:
代入以上公式可得:
【提炼与提高】
高考命题的原则是:「基于教材,高于教材。」 此题可以称得上是这方面的典型范例。
为了成功解答本题,需要闯过以下关卡:
第1关:根据已知条件求 的方程。
解答的关键在于:应用几何分析,得出结论:动点 到 的距离之和为定值。这是一道课本题。假如考生认真对待教科书的习题,第1问不难得分。
第2关:当圆 的半径最长时,点 在什么位置?
从直观上看,可以猜出结论:当点 在椭圆的右顶点,圆 的半径最长。但从数学角度来说,还需要加以论证。用椭圆的极坐标方程来论证,是效率较高的办法。
第3关:圆 与圆 的公切线有几条?
因为这两个圆相切,所以有3条公切线。其中一条与 轴垂直,斜率不存在。部分考生可能因为漏解而丢分。
第4关:求椭圆的弦长
弦长问题是解析几何中的典型问题,典型的解法是用韦达定理。笔者提供的解法有两个特点:
1)直线方程设为 . 这种形式包含了倾角等于 的情况,不包含倾角为 的情况。
2)没有使用 的具体值,而是带着参数计算,得出公式后,再代入具体的参数值,求出弦长。
这样做的原因在于:人在考场上高度紧张,在计算 或者 值的过程中很容易出错;使用通用的形式计算,在平时多练习,完全可以做到又快又准。这一做法也算是一条考试的小技巧。
第5关:求公切线的方程
这里的关键是求出切线的倾角的正切(或者余切)。针对本题的具体情况,如果用代数方法,是比较麻烦的,但从几何角度分析,很快就得出结论。
总的说来,本题综合性较强。以有限的篇幅考查了以下几个方面的知识:
『直线与圆的关系』
『圆与圆的关系』
『求弦长的方法』
『数形结合,几何开路』
这样的题,就可以称为:地标性考题。