欧拉公式

据说欧拉公式是宇宙第一公式，我的数学水平不足以证明这道公式。但是重温数学过程中，对0，1，π，e，i这些符号还是印象挺深刻的，它们是数学史上里程碑式的常数，对它们的理解也比上学时自认为有了更深的感悟。

一、0和相反数

0是一级运算也就是加减法运算的单位元。

对于某种运算 ∗（注意：这里代表通用运算的表示符号，并不是特指乘法），如果对于任何的集合元素 x和元素甲运算，得到还是集合元素本身，则称元素甲为这个运算下的单位元。

在加法运算中，任意实数x，有 x+甲=甲+x=x，则 单位元甲=0。

对于加法，如果任意两个元素的运算结果等于单位元，则称这两个元素互为逆元。在加法运算中，任意实数 x的逆元为 −x。

加法逆元就是将某项操作归于单位元0的操作。加法运算中的逆元，就是相反数的概念。

将a-（b-c）=a+【0-（b-c）】=a+【（b-c）的加法逆元】=a+【将（b-c）归于0的元素】=a+【-b+c】=a+c-b=a+c+【0-b】=a+c+【将b归于0的元素】=a+c+【-b】

加减运算因为是一级运算，过于直观，往往让我们忽略了减法本质是加法的逆运算。正是借助往往被隐去的数字0，我们才能将减法操作转换为加法操作。从中产生了相反数的概念。

二、1和倒数（英文原文是Reciprocal，意为互惠的、相应的）

1是二级运算也就是乘除法运算的单位元。

对于某种运算 ∗（注意：这里代表通用运算的表示符号，并不是特指乘法），如果对于任何的集合元素 x和元素甲运算，得到还是集合元素本身，则称元素甲为这个运算下的单位元。

在乘法运算中，任意实数x，有 x×甲=甲×x=x，则 单位元甲=1。

对于乘法，如果任意两个元素的运算结果等于单位元，则称这两个元素互为逆元。在乘法运算中，任意实数 x的逆元为 1/x。

乘法逆元就是将某项操作归于单位元1的操作。

a÷（b÷c）=a×【1÷（b÷c）】=a×【（b÷c）的乘法逆元】=a×【将（b÷c）归于1的元素】=a×c÷b=a×c×【1÷b】=a×c×【b的逆元】=a×c×【1/b】

记得小学时学到倒数的概念，老师讲完课我整个人都懵逼了，不停的问身边的小伙伴，倒数讲的什么意思，听不懂。小伙伴用一种非常诧异的眼光看我，说很简单啊就是整数变成1/整数，分数就上下倒过来，当时的景象现在依然历历在目。现在想来，我早早就进入了数学思维的沼泽地，这是我思维中对数学第一个不能理解的东西，学习倒数的意义是什么？将分数上下颠倒的意义是什么？我的数学悟性之差在小学三四年级就体现出来了。

通过现在的学习，我才领悟到正是借助往往被隐去的数字1，我们才能将除法操作转换为乘法操作。从中产生了倒数的概念。

三、π和旋转角度的实数化

圆周率“π”是一个无理数，即是无限且不循环的数。为什么圆周率会是一个无理数呢？首先，揭秘圆周率为什么是一个无限的数，这需要从圆周率的由来说起。顾名思义，“圆”指平面因半径绕一端点旋转一周形成的封闭圆形，“周”指这个圆的周长，“率”指这个周长与直径的比值。圆的半径是线段，只要给定标尺，我们很容易尽量准确得到线段与标尺的关系，从而得到半径的“数值”表示的长度。圆的周长是闭合的同曲率的曲线，不同半径的圆形成的周长的曲率各不相同，导致人类无法一劳永逸地用同一曲线标尺测量各种曲线长度。那我们如何测量最简单的最有规律的圆曲线长度，即如何测量圆的周长呢？

聪明的人类祖先们想出一种方法，就是把圆周长C均分成N段，把这每一段曲线的曲线长l，用相应曲线两端点形成的直线段长L代替，这样就近似得出圆曲线周长所确定的C值。N取值越大，C值与真实圆周长间差值越小，通过上述公计算的圆周长越接近于真实圆周长。此种方法就是最早期的简单数学建模思想。很明显能够发现，圆周长为曲线段长，而半径为直线段长，前者为二维线段，后者为一维线段，二者本来为不同的维度下的图形内容，不具有相提并论的度量关系。但人类研究发现，二者间极可能存在某种“固有”联系，这个联系就是“圆周率非常可能是一个固定数”；即，对于不同半径的圆，其周长和直径之比极大可能为同一个数。当然，这只是一种猜测，直到当今也没有人能够直接证明不同半径的两个圆的圆周率为同一个数；这是因为我们无法确定圆周率这个确定数值究竟是多少。也就是说，人类连单一圆的圆周率是多少都没有确定，就无法进行下一步的对比工作。

用一维直线段近似求得二维曲线段长度的方法分析，只要这个一维直线段还是一维直线段，就存在一个量差；这里面涉及一个问题：存在有且只有两个点的直线段吗？因为一旦存在这样有且只有两个点的直线段，那么再对这个有且只有两个点的直线段进行一次平均分时，就可以得到只含一个点的直线段了。而答案很明显：无论直线段多短多小，任何直线段上的点是无限的。这个结论让人类会觉得极为无可奈何，我们是无论如何也无法计算出准确（差量为0）的圆周长。无法计算出准确的圆周长，准确的圆周率自然无法计算出来。直线段L每平均分一次，计算出的圆周长C越接近真实值，但是这是个没有终点的过程，因为任意直线能够无限平均分；所以，圆周率是算不尽的，即圆周率是无限的。其次，对于圆周率是否是无限不循环的，这个也无法给出准确答案，因为我们无法确认圆周率在小数点后面的所有位数的数值，当然就无法回答这个问题。就当前人类的计算结果，圆周率小数点后面是无限不循环的是肯定的。

圆周率概念的形成过程及本质，已经注定它是算不尽的。当然，圆周率的位数计算能够一定程度反映算法和计算工具的先进程度，因此进行的关于圆周率小数点后位数尽量多的计算是有一定意义的。如果一味追求想把圆周率算尽，这样的想法无疑于不懂圆周率形成过程及本质，这样的行为是对包括电力在内的所有相关资源的无意义的浪费。在平常生活中的计算，圆周率小数点后两位一般就够用了，所以，更没有必要进行无意义的工作。

尽管从圆周率π很容易发现一个道理：宇宙事物都具有确定性，而这种确定性又无法被人类精确捕获。但是π作为无理数的一个符号，因为与圆的关系，这个无理数成为了旋转角度的实数表达。

角度制是将圆周分为360等份，每一份叫一度。由于地球的公转，地球上的我们就像看走马灯一样，在特定的时间看到特定的星座。古人发现了这个规律，并且以星座为参照物，近似观察出循环周期为360天，也就是一年。因此，天就被等分成了360份，也就是圆被等分成了360份，以此创立了角度制衡量角的大小，说的确切一点角度制是从圆周运动的观察者角度出发来定义的。

用单位圆上的点围绕圆心旋转，旋转的路径和角度弧度。用单位圆上点随半径旋转运动的弧长大小（不包括单位）定义此时圆心角的大小，将这种角衡量标准叫做弧度制。从弧度的定义可以看出，弧度是一个没有量纲的量（如实数一样） ，因为弧长比半径，长度单位被约掉了，这里注意rad只是弧度的符号，并不是量纲意义上的单位。

在这种弧度的定义下就将角与实数建立了联系（用数表示角），数和角本是两个独立的概念（一个是几何概念，一个是代数概念）我们用数来衡量角，给角一个标度，就是将角度实数化。弧度就是实数化的角度量化标准。

弧度制简单来说就是:把180°对应到π，以前的sin(90°),cos(30°)就变成sin(π/2),cos(π/6)......

sin(π/6)=1/2，实现了实数与实数对应，实现了用实数来表达旋转运动，这是π的伟大意义！

四、e（累积式复式增长的极限）和反函数

e在自然界真的处处存在，不过直到1727年，欧拉（Euler）才第一次使用。后面为了纪念欧拉，就把这个数记为e。

伯努利是被认为第一次把e写下来的人，因为他通过计算得出了接近e的值。

他做了一个思维实验，思考在相同的速度下，在不同的时间段内，复合增长是如何改变主要产出的。下面由一个金融案例来解释。

假设你把100元存入一家银行，银行支付100%的年利率。这意味着一年以后，100元将变成200元。但是现在，不是将全部100％复利一次，而是以50％的利率复利两次，由于你要求银行分两次计息，只有每6个月的利率减半为50%才算公平。因此，6个月后，你将拥有100×1.50=150元。再过6个月，你的存款金额将再次增加50%，变成150×1.50=225元。比你按照原来的计息方案得到的200元多，因为你从这一年的利息中又获得了利息。如果是以33％的利率复利3次，则年底的本金为237元；如果我们按季度计算（复利4次），一年后本金为244元！

如果以更快的频率计息，比如一年365天每天计算一次，那么年末你只能得到：

100×（1+1/365）^365=271元

很明显，更频繁地计算复利会导致银行里有更多的钱，当利息每时每刻以复利计算时，会发生什么？

当n趋于无穷时，你的存款金额将趋于100×(1+1/n)^n的乘积的极限。

(1+1/n)^n的乘积的极限就是e。

当指数函数和对数函数这对反函数使用了 e之后，一切计算都显得十分简洁明了。

函数f和g是反函数时，当且仅当f(g(x))=x并且g(f(x))=x。f和g的图形关于直线y=x对称。根据反函数的性质。

就这样，我们把所有指数函数和对数函数都能转换成和e相关的函数，我们称是自然指数函数，是自然对数函数

五、i和旋转

i的发现来源于解方程。数学家们很轻松的掌握了一元一次方程和一元二次方程的求解方法，很自然地，他们向一元三次、四次、五次等多次方程发起了挑战。

14世纪开始，解多次方程成为一门显学。当时甚至还有两人打赌，互相给对方出 30 道一元三次方程题，然后限期内将对方所提出的问题的解答递交给公证人。输家要请赢家吃饭 30 次。对于小镇做题家来说，真是一个浪漫的时代啊。从这件事可以看出，一元三次方程问题在当时隐然有一种全民研究的架势。一元三次方程首次被彻底解决，是在 1535 年。这一荣誉应当属于威尼斯的塔尔塔利亚。他正是上面所说的这个赌约的参与者，也是总能获胜的一方。

后来，塔尔塔利亚将一元三次方程的解法透露给了卡尔达诺，并要求卡尔达诺发誓保密。卡尔达诺这边也不安分，一直想着怎样又能发表又不违背誓言。还真让他找着了。原来一元三次方程解法的“版权”另有其人。早在塔尔塔利亚之前，就已经有一名学者叫费罗发现了某一类一元三次方程的解法。而卡尔达诺本身也独立发现了另一类一元三次方程解法。他俩的工作拼在一起，就等于是攻克了三次方程问题，这就没塔尔塔利亚啥事了。总之，卡尔达诺发现可以绕开保密誓言之后，顶着塔尔塔利亚的怒火，于1545年出版了《大术》一书，公开了一元三次方程的解法。一同公布的还有一元四次方程的解法，这是他的学生费拉里在1540年发现的。

虽说卡尔达诺的行为是有点不道德，但他的作品直接推动了数学的发展。“复数”这个概念在历史上首次出现，就是在《大术》这本书中。解决了三次和四次方程之后，接下来就该轮到五次方程了。按说从三次方程到四次方程的攻克，只过了五年的时间，五次方程的解法应该也会很快发现吧。然而，五次方程的攻克花了将近300年。五次方程问题在微积分出现之前一直是数学中的显学。即使是微积分出现之后，仍然有许多顶级智商的大脑在致力于这方面的研究。人们慢慢意识到，五次方程很可能是没有代数解的。“五次方程没有代数解（求根公式）”这一定理由阿贝尔于1824年首次证明。在阿贝尔的基础上，伽罗瓦解答了另一个问题，“哪些特殊的五次方程有代数解（求根公式）”。伽罗瓦的理论后来被凯莱总结并发展为群论，从而将代数的抽象提升了一个层次。阿贝尔和伽罗瓦，一个终结了古典代数，一个开创了抽象代数。他们却是同样的英年早逝。真是天妒英才啊。

回到一元三次方程，在1545年，意大利米兰学者卡尔达诺在《重要的艺术》一书中，公布了一元三次方程的一般解法，被后人称之为“卡丹公式”。卡尔达诺是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家。

在1637年，法国数学家笛卡尔在《几何学》中使“虚的数”与“实的数”相对应，这是人类历史上第一次提出“虚数”这一名称，由此虚数开始流传起来。不过，虽然笛卡尔提出虚数这一概念，一些数学家也开始接受虚数，但对于数学界来说还是新事物，加上当时没有成熟知识系统，因此也引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。

在1702年，德国数学家莱布尼茨就曾说到：虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物。

瑞士数学家欧拉早期也评价道；虚数是想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。欧拉之所以能成为伟大的数学家，也在于他能不断发现问题，不断解决问题，不断进步。在1777年年，欧拉在《微分公式》一文中第一次用i来表示-1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。

在1722年，法国数学家棣莫弗发现了著名的棣莫佛定理。指的是设两个复数（用三角函数形式表示）Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），则：Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]。棣莫弗定理与瑞士数学家欧拉提出的欧拉公式之间有重要联系。在1747年，法国数学家达朗贝尔指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是a+bi的形式（a、b都是实数）。在1797年，挪威测量学家韦塞尔试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，但在当时没有得到学术界的重视。直到18世纪末期，复数这一概念才慢慢被世人所接受。在1799年，挪威-丹麦卡斯帕尔·韦塞尔的文章发表的《Proceedings of the Copenhagen Academy》上，当时卡斯帕尔·韦塞尔提出复数可看作平面上的一点，同时他又考虑球体，得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论。以当今复数的标准来看，卡斯帕尔·韦塞尔的理论也是相当清楚和完备。

在1806年，德国数学家高斯公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a＋bi。象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“高斯平面”。在1831年，高斯认为复数不够普及，用实数组代表复数，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。

在1832年，高斯发表了一篇备忘录，第一次提出了“复数”这个名词。同时高斯把卡斯帕尔·韦塞尔观点再次提出并大力推广，如将表示平面上同一点的两种不同方法：直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数的研究开始高速发展，复数理论才比较完整和系统地建立起来，更奠定复数在数学的地位。

1.把形如a+bi（a，b∈实数）的数叫做复数。i称作虚数单位。i²=-1。复数一般用z来表示。z=a+bi（a，b∈实数），a与b分别称为复数的实部和虚部。

2.对于复数z=a+bi（a，b∈实数），当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它是虚数；当a=0且b≠0时，它是纯虚数。

3.实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示，复数z=a+bi（a，b∈实数）都可以由有序实数对（a，b）唯一确定，借鉴平面坐标系的思维，可以建立复平面。横轴叫做实轴，竖轴叫做虚轴，所以实轴上的点都是实数，虚轴上的点除了原点都是纯虚数。这样复平面内的点Z(a，b)与复数z=a+bi（a，b∈实数）一一对应。同时又与点Z与原点形成的向量OZ一一对应。我们常称呼复数z=a+bi为点Z或者向量OZ。因此，从几何角度来说，用一个复数乘以虚数单位，相当于让它在复平面上对应的点绕原点逆时针旋转90°。这样一来，“i²=-1”或者“1·i·i=-1”从几何角度就好理解了，这相当于使得原来在复平面实轴上的点(1,0)连续绕原点逆时针旋转90°两次，最终落在了(-1,0)。所以，如同一个数乘以（-1）相当于掉头反转180°；一个数乘以i就相当于逆时针旋转90°，一个数乘以-i就相当于顺时针旋转90°。

4.“角，让人类的思维从线性一维的概念进入二维甚至三维空间的领域，进而产生了“旋转”的概念。借助发明直角三角形锐角的“正余弦正余切正余割”将三角形角边关系联系起来。通过在“几何角”中引入“弦切割”，“旋转运动”获得了直观理解。”如同一个数乘以（-1）相当于掉头反转180°；一个数乘以i就相当于逆时针旋转90°，一个数乘以-i就相当于顺时针旋转90°。复数的发明也是描述“旋转运动”。很自然的，“旋转运动”将复数与角的“弦切割”联系起来。

六、对欧拉公式的理解

首先，以1为半径画一个圆，半圆的长度，是π。还指180度，也就是π弧度。

其次，×i的几何含义是逆时针旋转90度；

再次，e=（1+），n趋向无穷大时的值，是在一个单位时间，连续的（翻倍）增长所能达到的极限值。值得注意的是，所有的自然增长虽然可能没有达到翻倍这种程度，但是能通过某种方法，和e有着某种关系，这种关系衡量着这种增长速度。例如存一年利息没有100%只有50%，一年后最多能拿到多少钱？（1+）,可以设n=0.5m，原式=（1+）=e^0.5。而且能轻易得到(1+)=。许许多多个（1+）不断相乘，结果就是。也就是增长=e^（增长率×时间）。

综上，e是累积式增长极限的体现，i是旋转，1×就是点（1，0）绕原点逆时针累积式旋转1弧度，那么就是（1，0）绕原点逆时针累积式旋转π弧度。那就是从1变为了-1。