我们知道，方程的未知数不一定只有一个，未知数的次数也不一定为一。在这大体的背景之下，我们已经学习了最简单的原因是分成和二元一次方程。而今天，就让我们以数学很简单的逻辑顺序，在研究一下方程的另一个阶段：一元二次方程吧。

      首先举一个最特殊，也是最最简单的一元二次方程

        x^2=4

      对于此类方程，我们可以直接引用之前学过的开根号，将两边同时开方，非常轻松的得到结果

                那么，如果再复杂一些呢？

                （X -1）^2=16

                （x+1）^2=36

      其实并没有什么影响，这两个方程，虽然看起来更为复杂，其实内部的逻辑却是和以上的第一类方程完全一样的，只需要直接将方程两边开平方，就可以将原方程变为我们已经熟知的一元一次方程并进行解决。因为整个解决的核心就是使等式两边同时开平方，我们也可以把这种解一元二次方程的方程的方法叫做直接开平方法。（值得注意的是，由于平方项的非负性，此类方程往往有两个解）

      但正像我们刚才说的，直接开平方法所能解决的方程只是所有一元二次方程中最最特殊的形式：只有一个未知数项和常数项。但最最一般一元二次方程从组合上来讲往往还会有另一个存在：交叉项，比如说：

          x^2+4x+2=0

      对于这一类的方程，直接开平方法显然不能满足我们的需求。因为由于一次项交差项的存在，我们无法将未知数项结合为一个乘积的形式。

      可是，还记得之前我们所学习的因式分解法吗？在因式分解章节里，我们学习了如何将整式的加减形式转变为整式的乘积形式，显然，整式的概念包含了二次数，所以在一元二次方程里，我们也当然能够应用因式分解进行加减形式和乘积形式的转换。

      此时在观察原先的方程，其中x^2+4x+2的方程的左边部分，是不是就特别像因式分解中的完全平方和公式呢？在根据因式分解的运算规律进行合并同类项，将原方程变为（x+2）^2=0，诶，是不是又可以运用原始的直接开平方法进行解决了。

      又或者：

      在这个式子中，由于等式左边的乘积形式，我们可以确定在X或者X -4中肯定有一个的值为零，也就可以据此解出方程的两个解：x1=0，x2=4。这其实也是另一种利用因式分解的解方程形式。

      同时，由于因式分解里的公式分解以及等式的左边恰好是乘机形式，而等式的右边为零的情况毕竟特殊。我们也可以利用更加普遍的十字相乘实现一个因式分解的过程。比如：

      而这也就是解决一元二次方程的第二种方法：因式分解法了。

      你以为仅此而已了吗？

      请看以下方程：

      x^2+6x=2，变形完了后是x^2+6x-2=0。

      我们会发现，面对这个一元二次方程，我们既不可以用普遍的公式进行合并同类项，又好像不能用十字相乘直接解决这个问题。

      但是，没有能够直接进行因式分解的公式数，我们难道不能利用等式的基本性质创造一个吗？

      就像原方程中的x^2+6x-2=0，如果变成x^2+6x+9，就可以利用因式分解法分解成（x+3）^2了。而且只要我们是方程等式两边同时+11，原方程也就可以真正的变成x^2+6x+9=11，进而转变成（x+3）^2=11，最后根据直接开平方法的运算方法得出计算结果。由于这种解一元二次方程的方法把原先不能利用公式法直接因式分解的一元二次方程转化为了能够直接进行因式分解的一元二次方程，这种解方程的方法被命名为了配方法。

      从理论上来说，配方法已经可以一劳永逸的解决所有一元二次方程的问题了，然而在实际我们解决一元二次方程的时候，却往往会遇到一些困难：

        如方程

      你说这个方程不能利用配方法进行求解吗？它可以，但用配方法求解这个方程有效率吗？舒适吗？一点也不。那么，到底有没有一种方法，一种公式，在不需要任何更多的复杂操作的情况下直接求得方程的结果呢？可能有，但到底如何得到这种公式呢？也许在一切都可以使用的配方法的普遍形式上我们能够找到思路。

      对于任意一个一元二次方程ax^2+bx+c，都可以在完全符合当时的基本性质的情况下利用配方法的普遍规律将其变形为：

        随后再进一步化简，变为

      直到这时，这个最最普遍形式的一元二次方程已经变为了我们可以直接开平方的形式了，而当我们最终将其开方，便得到了一个最最普遍的公式：

      由于我们所列出的式子是最最普遍的一元二次方程，所以这个结果也当然适用于所有一元二次方程。这意味着我们只要分离出任意一元二次方程的a（未知数系数），b（交叉项系数），c（常数项）的值，将其带入公式中，就可以得到此方程的两个解。

      真的如此吗？

      如果这个方程本身就没有解（这种情况是完全有可能出现的），难道也可以利用公式法解出结果？这不就矛盾了吗？而如果不行的话，又如何判断呢？

      其实还是较为简单的，纵观整个公式，我们会发现其唯一的不是很确定的变量就是根号b^2-4ac，因为一个数的平方具有非负性，所以这个数的根往往会是不同的正负数，但关键就在于，b^2-4ac是一个随着方程的变化而变化的式子，所以有可能等于任何值！此时进行分类讨论，当b^2-4ac>0，在平方的非负性的影响之下，整个式子是一个非常正常的拥有两个解的一元二次方程。当b^2-4ac=0，原式等于零，原公式不再存在正负变量，所以只有两个一样的解。当b^2-4ac<0，则构成了一个矛盾的平方。原方程在实数范围内无解。在数学上，我们管b^2-4ac叫Δ,总体便起到了一个验证方程到底有没有解，有怎样的解的作用。

      利用公式法，我们还可以简单的推导得出一元二次方程根与系数的关系：

    到了此时，根据从简单到复杂的逐步推演的数学逻辑，整个一元二次方程的探索也便接近了尾声。通过这次的探索，我们发现了直接开平方法，因式分解法，配方法和最最普遍的公式法这四种解决一元二次方程的方法。也应该直观的感受到了这四种方法之间紧密的内在逻辑，其中配方法是因式分解法的一种变形（人为的制造能够进行因式分解的式子），公式法是配方法利用一元二次方程普遍形式推演一下所得到的规律。至于直接开平方法，则是所有方法中最后一步都离不开的真正能够进行降次的存在。