Holder不等式

Hölder不等式以及证明过程。

定理描述：

条件：若函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $p, q > 0$ , $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ，

结论： $\int_{a}^{b} |f(x)g(x)| dx \leq \left(\int_{a}^{b} |f(x)|^p dx\right)^{\frac{1}{p}} \left(\int_{a}^{b} |g(x)|^q dx\right)^{\frac{1}{q}};$

在特殊情况下：当 $p = q = 2$ ，以上不等式变为：对于平方可积函数的柯西-施瓦茨不等式；

下面我们来证明holder不等式

①首先来说明一个引理：
若 $a, b \geq 0$ ， $p, q > 0$ 且 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ，则 $ab \leq \frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q$ ；

我们可以利用对数函数上凸的性质来证明这一点：
观察函数 $f(x) = \ln x$ ，易得 $f''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$ ，因此 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上凸，因此我们可以得到：

$\ln(\frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q) \geq \frac{1}{p}\ln a^p + \frac{1}{q}\ln a^q = \ln ab,$

因此 $ab \leq \frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q$ 成立。

②因此我们就可以根据上面的引理来证明holder不等式。

证明：

①若 $f(x) \equiv 0$ 或 $g(x) \equiv 0$ ，显然Hölder不等式成立；【因为我们等会要用定积分作分母，所以需要保证 $f,g$ 这两个函数不能为0值函数，否则定积分就可能为0】
②而若 $f(x), g(x)$ 都不恒为 $0$ ，则 $\int_{a}^{b} |f(x)|^p dx, \int_{a}^{b} |g(x)|^q dx$ 均不为 $0$ （可由两函数的连续性、函数极限的保号性和定积分的保序性证明）

令 $a = \frac{|f(x)|}{(\int_{a}^{b} |f(x)|^p dx)^{\frac{1}{p}}}, b = \frac{|g(x)|}{(\int_{a}^{b} |g(x)|^q dx)^{\frac{1}{q}}}$ ；

对 $a$ 、 $b$ 应用上述一、中的引理，我们得到：

$\frac{|f(x)||g(x)|}{(\int_{a}^{b} |f(x)|^p dx)^{\frac{1}{p}} (\int_{a}^{b} |g(x)|^q dx)^{\frac{1}{q}}} \leq \frac{|f(x)|^p}{p \int_{a}^{b} |f(x)|^p dx} + \frac{|g(x)|^q}{q \int_{a}^{b} |g(x)|^q dx},$

对这个不等式两边同时在 $[a, b]$ 取定积分，分母可视作常数，则有：

$\frac{\int_{a}^{b} |f(x)g(x)| dx}{(\int_{a}^{b} |f(x)|^p dx)^{\frac{1}{p}} (\int_{a}^{b} |g(x)|^q dx)^{\frac{1}{q}}} \leq \frac{\int_{a}^{b} |f(x)|^p dx}{p \int_{a}^{b} |f(x)|^p dx} + \frac{\int_{a}^{b} |g(x)|^q dx}{q \int_{a}^{b} |g(x)|^q dx},$

不等式右侧是等于1，则

$\int_{a}^{b} |f(x)g(x)| dx \leq (\int_{a}^{b} |f(x)|^p dx)^{\frac{1}{p}} (\int_{a}^{b} |g(x)|^q dx)^{\frac{1}{q}},$ 得证。

上面是一道分割线，下面是一道泛函的练习题，很相似，区别在于我们上面证明Holder不等式时的 $p,q$ 都是大于1的正数，那么我们下面看看如果说 $0<p<1$ ，这时候结论会发生什么样的变化呢？

证明：设 $0 < p < 1$ ， $p' = \frac{p}{p-1} < 0$ 。

若 $f \in L^p(E), g \in L^{p'}(E)$ 则

$\int_E |f(t)g(t)| dt \geqslant \left(\int_E |f(t)|^p dt\right)^{\frac{1}{p}} \left(\int_E |g(t)|^{p'} dt\right)^{\frac{1}{p'}};$

显然，我们只需要：先证 $0 < p < 1$ 时， $ab \geqslant \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ ，其中 $a, b > 0$ ， $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ 就可以。