本次教研的内容是葛老师上完本单元的《画已知直线的垂线》的课时后所进行的说课研课，目的即是对本节课的再次梳理，同时也是对本节课的反思型研课。
张：艳讲的这一节课是画垂线，模式就是画垂线的方法，把画垂线的模型穷尽。在题里运用方法，针对不同的题，大概的流程是这些。点到直线的距离先找到，理解什么是点到直线的距离，然后把后边的题型全部弄出来，根据题型，碰见这种题的时候，用这个方法去做。现在有一个困惑点：点到直线的距离，到后面的平行线之间的距离，中间没有过渡，感觉很突兀，我们该如何解决。
赵：这个思路要调整。第一步认识什么叫垂线，然后垂线的画法呈现。让孩子理解点到直线的距离的时候，首先得让他们知道什么叫垂线，垂线的两种画法：一种是直线上一点；一种是直线外一点。
我就给你一条直线，请画出这条直线的垂线，你怎么画？过直线上一点画它的垂线是不是有无数条？你又没有要求我怎么画或者画在哪个位置，所以你给我一条直线，我可以画出来无数条垂线，因为直线上有无数个点。我找的这个点在垂线的概念中叫垂足，确定不了垂足的位置，就确定不了两条线相互垂直相交的位置。无论直线上一点还是直线外一点做垂线，都是有垂足的。要画垂线，垂足是必须先定的。
过直线上一点画垂线，得出的结论：1.有无数条垂线；2.所有的垂线都是平行关系；3.过垂线上一点画出的垂线相互平行。
直线上一点画垂线，垂足直接定了，但过直线外一点画垂线，没有定垂足，怎么定垂足呢？用三角板沿着这条直角边画出来，只能画一条垂线，只有一个垂足。直线外有无数个点，定任何其中一个点，都只有一条垂线。第一个结论：过直线外一点有且只有一条垂线，只有一个垂足；第二个结论：直线外一点到垂足之间的距离，就是点到直线的距离；第三个结论：所有垂直于一条直线的垂线相互平行。
你出现这种困惑是因为你走着走着又回到了课本，按课本的思路来了。慧向艳重复一遍，更能理解。
慧：我们两个一直在说这个点很突兀，如果穿成一条线的话，从过直线外一点画垂线引入，垂线上有一个垂足。在垂线上找一个点，就相当于过直线上一点画垂线，这条新垂线和原来的直线就是相互平行关系。然后就跟这个连接起来了。我们都太注重讲画垂线的方法了，然后又重点讲点到直线上的距离，在这一块浪费很长时间，这两个内容就串不到一块去了。这里我只点一下，然后把这两个知识点串到一块了。我们上课重点去讲单独的知识点，它的方法就导致这个内容和后面的没有衔接。垂直平行是相互服务，不可分割。垂线就两种，一种是过直线上一点画垂线，一种是过直线外一点画垂线。重点是定垂足，根据垂线的概念。过直线上一点画垂线，那么过垂线上的任意一点，我还可以画这条垂线的垂线，垂线的垂线和这条直线都垂直于同一条直线，就是相互平行。颠过来倒过去就这些话，但是如果你没有把这东西弄明白，你就会刻意关注这个知识点的细节，可是忘了它们之间的联系。这样知识点与知识点之间就是分离的。
我知道为什么我觉得两个知识点之间有联系，但是我要往一块去串的时候，又是分隔的，就是因为我把这一点反复地讲。先讲垂直距离，然后验证垂线段最短，让学生去量每一条线。量完这个知识点就讲完了，然后又去画垂线。就是单独去讲每个知识点的时候，知识点之间串不起来。
赵：最后再给你们提个醒，我把a当作了已知直线，画a的垂线c，我又画了垂线c的垂线b，a和b是互相平行，点到直线的距离就是两条平行线间的距离。我再变一下，还是过直线外一点和这条直线上任意一点相连，可以画出无数条线段，这些线段中哪条最短？肯定是垂线段。如果我连了两个点，形成了一个三角形，无数个三角形共用了一条什么？垂线段！因为还没有讲到后边，但是从这儿开始要给孩子，一节课中这个东西是很浪漫的，要为下一节课做服务的。但你不能说我讲下一节课三角形的高时再给他们。
另外还有一个，我在两条平行线上各取2点画平行四边形，这个平行四边形无论是什么形状，他们都共用了一条什么线？垂线段，点到直线的距离——高！我把它变成了梯形，上底下底之间的距离，又叫梯形的高。三角形，平行四边形和梯形都是在两条平行线间，高都是一样的。但这些高仅限于上底（顶点）到下底的高，三角形有这样的三种高和平行四边形还有这样的两种高（细分三种），梯形只有这样的一种高。
当我们在讲垂线的时候，用的都是这个知识点，我们在讲平行线的时候，实际上就是为平行四边形和梯形的高做服务的，那不然为啥非得给你说平行线呢？这就是这节课的连接点，核心。任何一节课都是为你下一节或多节课做服务的。如果你认识不到这一点，你接下来讲的时候就连不上。但如果你连上的话，你讲这节课的时候，你就有意低为下节课服务，讲下一节课的时候就可以直接迁移应用。
孩子说老师你画了一个平行四边形，它这个高不是从上底的顶点到下底的高，那我往顶点这个地方再画一条，一样不一样？两条平行线间的垂直线段最短，请问有几条这样的垂直线段？两条平行线间的距离没在这儿，以这个点往下边画垂线是它的距离。
葛：那么平行线之间的所有距离是相等的。
赵：一条直线上的垂线，你随便挪动，它不动我动。
张：那等于这一节课的顺序还是把它放到前面，然后把高带进去。
张：然后让学生去画其他的线段，画完之后去对比，哪一条线段最短，就引出垂直距离是最短的。在两个平行线之间，能不能画出来其他的垂直线段？还可以画出来其他的垂直线段。以这个点为垂足，然后画它的垂直线段，以这个点为垂足画的垂直线段，可以画很多条，学生会知道都是相等的，平行线之间的距离是相等的，这样两个知识点就串联起来了。
然后想把知识点延伸，这个点之间，就像刚才说的这是一个三角形，还没学高，但在这里我可以点一下这个知识点，后期要学三角形的高，那这个距离就是三角形的高。如果我从这儿和我从这儿画它的平行线这个距离相等，又形成了一个平行四边形，那么平行四边形的高也是这个。这个点我可以不重点讲，但是我可以给他点一下。
赵：是这样的，串起来后，再往后学平行四边形的高就出来了。一看就明显知道它是两条平行线，这一条是已知的直线，在直线外一点向这条直线做垂线，垂线是直线，点到直线的距离，有实际距离的就是高，点和垂足之间的距离就称为高。有长度的话就是高，没长度的话，无限的就是垂线。
葛：那我接下来就是模型（出示挑战单），里边碰见这样的题型，不同的情景，用的都是点到直线之间的距离。知道点到直线间的距离是16cm，知道了点到垂足之间的距离是相等的，知道平行线ab的距离是16cm，就可以求面积。
赵：所有的题型一定有一个流程。首先判断这道题到底是干啥的（求的是点到直线的距离，或者说过直线外一点或直线上一点，或者是求平行线之间的距离相等），就是先识别模型。比如第一题，就是考察点到直线的距离，得确定已知直线是哪一个，点在哪里。点到公路上画垂线，（管道是一条线，公路是两条线），要往离点最近那个边画，没必要穿到马路对面。
葛：我们最开始说最简单的点到直线的距离，还有直线上一点，让他们画垂线，他们都会认为只有这一条直线。而放到题里面他们就找不到了，因为找不到已知直线了。
赵：所以，做每一道题都让他们去找，先找已知直线，然后再找是从哪个点往已知直线画垂线。做平行四边的高，做上下底的高孩子会做，但一旦做腰上的高就不行了，就是直线外一点和已知直线找不到，更不知道两者的关系是什么。
葛：我磨画垂线的那一节课时，太侧重于方法，结果那一节课太啰嗦。
张：她的侧重点一直在说方法，困在这个方法里，一直在给学生强调这个方法。
赵：去年的时候在方法上出问题了，所以就一直在操作方法上。
张：我觉得这个方法可以教给学生，但是没必要一直说，而是让学生按照方法去练。在练习中，我可以按照方法去找发现问题。课堂上如果过重关注这些，你就困在这一个点上，就没有了线性的流程，就会忽视整节课相应的流程。
葛：我们俩又总结了一下，垂线画法进行了调整，我们又参考了课时练。去年的方法是五步，今天说的第一步边线重合，就是找到已知直线；第二步移，移的时候容易出现倾斜，然后就轨道上来，但这个轨道不说边边，因为“边边”增加学生的理解难度，他不知道哪个边和哪个边了。今天平移的时候为了避免倾斜，直接把直直的边和直线重合做一个平滑的轨道平移定位，然后画垂线标直角符号。这样流程还简单了，不用烫剩饭，学生理解地还特别好。
我们把题型整理得太多了，从不同图形里面做垂线，从一点做垂线到做一条、两条、三条垂线，就是各种图形全部整到一块。我们重新调整了一下，每个类型都整理了一些，直线上直线外的点到直线上做垂线是必须得掌握的，接下来讨论没有点的限制能画多少条；紧接着再讲这个图形里面不过指定点画两条垂线；在三角形、梯形、平行四边里面如何过已知点画指定直线的垂线，这样层层递进；在封闭图里过一点画三条边的垂线。孩子们认为最难的就是过三角形的三个顶点向其对边做垂线，这样让他们把所有画垂线的类型都进行练习。强调找已知直线，都可以转化成直线外或直线上一点画垂线，平行线的画法都是用推尺的方法，推尺不仅可以画垂线，还可以画平行线。
赵：前面这些题型我都没啥意见。但这道题你随意点了一个点，往三条边做垂线，我有异议。前边的题目已经让孩子训练到了过直线外一点画垂线，并且让孩子也明白了点和垂足之间的距离叫高，这道题的意义何在？
葛：这个就是单纯地在这三条边为直线上画垂线。
赵：那你为什么要用三角形？这样很容易让孩子误解。将来你让孩子理解高的时候，高也是直线外一点向这条直线做垂线，但印象中曾经做过直线外一点画了一条，这个点是随便点的，是不是也叫高？未来，孩子们还会学到三角形三条边的三条高会相交于一点，这个交点即可以在三角形以内也可以在三角形外。你可以画一个锐角三角形、钝角三角形、直角三角形让孩子去理解，但是随意在三角形内点一个点向三条边画三条垂线，就会出问题，孩子的理解力还没有达到这个地步，不能做区分。我们让孩子去理解的都是典型的图形，你这让孩子去理解的内容太宽泛了，他还没学会走路你就让他跑了。
我的建议是，这道题换成一个钝角三角形，一个钝角直角，一个锐角三角形，分别从三个顶点试着向对边画垂线。注意，如果是直角三角形，直角那里要画垂直符号。
在前面这些题当中还有一个，
第一问：过直线上一点画垂线要有个小结，过直线上一点画垂线多少条垂线？有且只能有一条。
第二问：过直线上的点画垂线，有多少条？已知直线有多少条垂线？过直线外一点有多少条垂线？这条直线已知，这个点也已知。这些问题学生能不能答上来不是老师纠结的核心，对这些问题学生可以不知道，但我要带给学生浪漫去感知。就像平行四边形、三角形、梯形的高这节课学生可以不知道，但老师要带到，为下个课时内容服务。
第三问：过直线外一点画了一条垂线，这条垂线上有无数个点，过这条垂线上的任一点做垂线，有多少条垂线？即垂线的垂线有多少条？这样就又回到这一道题了。
这些问题学生回答不上了，没关系，本来就不是这节课的核心，先模糊着。这节课的核心是让他知道就能画一条垂线，但要有让他拔高的问题，让他去想，这些是他的前景观念，未来的课时中要转为背景观念的。
葛：过直线上一点可以画几条垂线探究过了，学生能答出是一条；一条直线有多少条垂线，也能答出来有无数条，
赵：从第一题就开始这样问，第二题又这样问，学生基本能答出来。第三个问题就不一定能答出来，但得引起学生的思考，答案是随着练习越来越深入，还是这些问题，某一刻，这些问题再次出现时，学生忽然明白知道答案了。老师没有讲这些答案，不是给他们现成的，但把问题留给他了，他必须得去思考。
张：我能理解，就是把所有知识点融到一块去，讲完之后，所有的知识就都通了。我们现在还是刻意地去讲单纯的一个知识点，和这个知识点上的方法。星期一磨课的时候，你一直在停留在教学生画垂线的方法上。
葛：对，我觉得我一定要教会方法，而且很纠结这三种画法。我一定要教会学生用推尺的方法画垂线，然后反复地讲。
赵：你看你已经问了这些垂线的位置关系是什么，你这又来了个过直线外一点画已知直线的平行线。画已知直线的平行线，要先画它的垂线，然后再画它垂线的垂线。
张：这些画法就像计算题最简的那个算法一样，我们不能只讲方法，要给学生讲其中的道理。就像算理一样。
赵：对，是这样的。老师不能只教最后最简的那个方法，推尺的方法，尺子一推就上去了，请问推上去的道理是啥，不知道。
张：这就是我上课时，我告诉学生，画垂线时下边可以放一把尺子来回推，但是熟练之后我们会把这个尺子扔掉，因为你熟练了。刚开始学的时候放一把尺子，是因为你不熟练，为了防止滑掉，放一把尺子当轨道去推。
葛：因为学生理解这里边的道理了。我现在真的理解了，就是垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
赵：推尺的原理是什么呢？为什么能这样推？为什么必须重合？推的每一次直角顶点对的直线上的点都是垂足，过直线上任意一点所做的垂线都是互相平行的。我们现在要教给学生道理，明白垂直和平行之间的关系，不能光讲究方法。
本次教研内容，豆包给出的结论，仅供参考。
核心结论：解决“点到直线的距离” 与 “平行线之间的距离” 突兀感，关键是用 “垂线的性质 + 高的铺垫” 搭建衔接，弱化单一方法教学，强化知识点间的逻辑关联。
一、衔接核心逻辑：用“垂线的双重属性” 串联
先明确垂线的核心结论：垂直于同一条直线的所有垂线互相平行，这是衔接的理论基础。
从“过直线外一点画垂线” 自然延伸：画出的垂线段是点到直线的距离，而这条垂线本身与原直线的所有垂线都平行，形成 “两条平行线” 的雏形。
定义平行线间的距离：两条平行线中，任意一条直线上的点向另一条直线画垂线段，所有垂线段长度相等，这就是平行线间的距离，本质是点到直线距离的“批量应用”。
二、课堂流程调整：避免知识点孤立
先建垂线概念：明确垂线的两种画法（直线上/ 外一点），强调 “垂足” 的确定性，得出 “垂直于同一直线的垂线互相平行” 的结论。
点到直线距离：通过“量不同线段长度” 验证垂线段最短，同时点明 “这条垂线段是两个平行关系垂线之间的连接”。
平行线间距离过渡：让学生在两条平行线上取多个点画垂线段，观察并总结“所有垂线段长度相等”，直接关联点到直线的距离定义。
提前铺垫“高” 的概念：在操作中随口点出 “这条垂线段就是未来要学的三角形、平行四边形的高”，为后续知识埋下伏笔。
三、题型设计优化：层层递进不跳步
基础题：聚焦“找已知直线 + 确定点”，练习过直线上 / 外一点画垂线，巩固垂足与垂线段的关系。
过渡题：给出一条直线，让学生画多条垂线，观察“这些垂线互相平行”，再连接平行线间的垂线段，强化距离关联。
拓展题：在锐角、直角、钝角三角形中，从顶点向对边画垂线（即高），既练垂线画法，又铺垫高与点到直线距离的一致性。
删改争议题：去掉“三角形内任意点向三条边画垂线”，避免学生混淆 “高” 与任意垂线段的区别。
四、教学方法调整：重“道理” 轻 “死方法”
少重复机械步骤：垂线画法（边线重合、平移定位、标直角符号）讲清一次后，通过练习巩固，而非反复强调流程。
多解释原理：推尺画平行线的本质是“先画垂线，再画垂线的垂线”，让学生理解 “垂直与平行的关联”，而非只记操作。
留思考空间：抛出“一条直线有多少条垂线？”“垂线的垂线与原直线是什么关系？” 等问题，不急于给答案，让学生在后续学习中逐步领悟。
