0. 涉及内容

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视频课中，老师用了一半的时间讲了一个连续时间系统如何映射进离散时间，课本上没有相关内容。。我也不会，所以我就按照课本上的内容写笔记了。将来哪里能遇到这个知识点再说吧。

1. 利用z变换零极点图对傅里叶变换进行几何求值

上一篇笔记lec#22中学到，当z变换收敛域包含单位圆时，傅里叶变换收敛，对于 $\vert z \vert = 1$ ，z变换就等于傅里叶变换。

1.1 一阶系统

一阶因果离散时间系统的单位脉冲响应具有如下形式，

$h[n] = a^n u[n]$

$H(z) = \frac{1}{1-az^{-1}} = \frac{z}{z-a}$

若 $\vert a \vert < 1$ ，收敛域就包含单位圆。那么 $h[n]$ 的傅里叶变换收敛且等于 $H(z) \vert _{z=e^{j \omega}}$ 。因此一阶系统的频率响应为

$H(j \omega) = \frac{1}{1-a e^{-j \omega}}$

画出 $H(z)$ 的零极点图如下所示，极点为 $z=a$ ，零点为 $z=0$ 。图中， $\overrightarrow{v_1}$ 为零点向量， $\overrightarrow{v_2}$ 为极点向量。那么傅里叶变换的模等于所有零点向量长度的乘积再除以所有极点向量长度的乘积，在这个一阶系统中，只有一个零点和一个极点，因此傅里叶变换的模就是这个零点向量长度除以极点向量长度。而傅里叶变换的相位等于所有零点向量角度的和减去所有极点向量角度的和。

对于这个一阶系统，零点在原点，因此零点向量的长度始终为1，不会影响傅里叶变换的模，而极点向量的长度当 $\omega = 0$ 时最小，那么傅里叶变换的模在这里取得最大值，随着 $\omega$ 从0增加到 $\pi$ ，极点向量的长度逐渐增大，导致傅里叶变换的模逐渐减小。对于傅里叶变换的相位，零点向量的角度就等于 $\omega$ ，极点向量的角度开始为0，随着 $\omega$ 从0增加到 $\pi$ ，极点向量的角度也单调增加。综上得到傅里叶变换的模特性和相位特性，

一阶系统z变换的零极点图和其傅里叶变换

当 $\vert a \vert$ 越小时，极点越发靠近原点，对应着更快衰减的单位脉冲响应和更快建立的单位阶跃响应。如果有多个极点，那么最靠近原点的极点在单位脉冲响应中提供了更快的衰减项。我们在傅里叶变换的模特性中也可以看到， $\vert a \vert$ 越小代表着模特性越“平”。

1.2 二阶系统

这部分内容与书上第六章中离散时间二阶系统有很大关系，我直接把公式抄过来，

$h[n] = r^{n} \frac{\sin (n+1) \theta}{\sin \theta} u[n]$

$H(e^{j \omega}) = \frac{1}{1-2r \cdot \cos \theta \cdot e^{-j \omega} + r^2 e^{-j2 \omega}}$

其中 $0<r<1$ ，且 $0 \leq \theta \leq \pi$ ，因为 $H(e^{j \omega}) = H(z) \vert _{z=e^{j \omega}}$ ，那么我们可以根据系统频率响应直接写出系统函数，

$H(z) = \frac{1}{1-(2r \cos \theta) z^{-1} + r^2 z^{-2}}$

$H(z)$ 在 $z=0$ 具有二阶零点， $H(z)$ 具有两个极点，分别是 $z_1 = re^{j \theta}$ 和 $z_2 = re^{-j \theta}$ ，零极点图和傅里叶变换如下图所示。零点向量长度为1保持不变，因此不影响傅里叶变换的模特性，而极点向量长度的最小值在 $\omega = \theta$ 处取得，这里对应着傅里叶变换模的最大值，与拉普拉斯变换类似，受第二个极点的影响，傅里叶变换模的最大值会在略小于 $\theta$ 的地方取得。相位特性的分析与一阶系统是类似的，注意 $z=0$ 是二阶零点，因此零点向量的角度要乘以2再减去所有极点向量角度的和。