幂零矩阵

本节我们来解释线性代数中幂零矩阵的概念
设 是数域 上的 阶方阵。若存在正整数 ，使得

其中 是 阶零矩阵，则称 为幂零矩阵。
使 成立的最小正整数 ，称为 的幂零指数。

我们看下面这个例子：

满足

所以 是幂零矩阵，幂零指数为 。一个平凡的例子是：零矩阵也是幂零矩阵，幂零指数为 。

下面给出幂零矩阵的等价刻画：对于 阶方阵 ，以下说法等价：

• 是幂零矩阵；
• 的特征值全为 ；
• 的特征多项式为:
• 存在可逆矩阵 ，使得 是严格上三角矩阵，即对角元全为 的上三角矩阵；
• 在代数闭域上， 相似于只含 特征值的 Jordan 块组成的 Jordan 标准型。

可以根据上面的等价刻画推断出幂零矩阵具有下面的性质
*幂零矩阵一定不可逆。 这是因为若 且 可逆，则 也可逆，矛盾。

• 幂零矩阵的行列式和迹都为 。

• 若 幂零且 ，则

  

  因此 总是可逆的。

• 幂零矩阵的相似矩阵仍是幂零矩阵。

• 两个幂零矩阵之和未必幂零；但若它们可交换，则和仍幂零。

简单来说，幂零矩阵就是某次幂变成零矩阵的方阵，它是幂零线性变换在某一组基下的矩阵表示。