存在定理
类似19世纪的微积分方程，数学家解方程出现困难时就转向判断微分方程在给定初始条件、边界条件下是否有解，这种情况也发生在常微分方程中。存在性问题之所以长期被忽视，部分原因是在物理和几何问题的研究中出现微分方程。直觉上感到问题有解。
柯西第一个考虑微分方程解的存在性问题，他成功给出了两个方法，第一个是1820s建立的，柯西想证明有且只有一个y=f(x)满足y'=f(x,y)，并满足给定的初始条件y0=f(x0)，他把(x0,x)分为n部分：Δx0,Δx1,...Δxn-1，作，然后定义
，柯西证明当n趋于无穷时，yn收敛到唯一的函数
，并证明函数y'=f(x,y)和给定初始条件。
柯西假设函数在(x0,x)和(y0,y)确定的矩形内部对x,y所有实值连续。到1876年，李普希茨（Rudolph Lipschitz,1832-1903)削弱了定理的假设。他的基本条件是：存在常数K使得矩形|x-x0|≤a,|y-y0|≤b内所有的(x,y1)和(x,y2)（即具有同一横坐标的任意两点），满足|f(x,y1)-f(x,y2)|<K(y1-y2)，该条件称为李普希茨条件，存在性定理则称为李普希茨-柯西定理。
柯西1839-1842年间发表了第二个方法：控制函数或优势函数，比第一个方法的应用范围更广（用到了复数域）。柯西把该方法称为极限的计算，因为他提供了下极限，在下级限范围内，已经建立了存在性的解保证收敛。C.A.布里奥(Briot)与J.C.布凯(Bouquet)简化了该方法，有了现在的标准方法。定理说，对于dy/dx=f(x,y)，如果函数f(x,y)在P0=(x0,y0)的邻域内解析，那么微分方程有唯一解y(x)，在x0的邻域内解析并满足边界条件，可用级数表示：
其中y'是(x0,y0)处的dy/dx，导数由微分方程逐次微分确定，y视为x的函数。证明的方法是：因为f(x,y)在(x0,y0)的邻域内解析，为了方便取(x0,y0)为(0,0)，于是有一个以x0=0为圆心,a为半径的圆和一个以y0=0为圆心，b为半径的圆，使f(x,y)在其中解析，对落在相应圆内的一切x,y值，f(x,y)有一个上界M。获得级数的方法本身就保证它形式上满足dy/dx=f(x,y)，那么问题是证明级数收敛。为此设立优势函数，它是
的展开式，然后证明dY/dx=F(x,Y)的级数解逐项控制y的级数，大Y的级数收敛，则小y的级数也收敛。
这个方法本身不能确定y级数的准确收敛半径，所以很多人努力证明半径可以扩大， 但是没有论文给出全部收敛区域，所以没啥意义。
确定常微分方程解的存在性的第三个方法（柯西或许也知道），首先是刘维尔研究一个二阶方程时发表的，这就是逐次逼近法。今天把荣誉归功于皮卡，因为他给出了普遍形式。对实变量x和y的方程y'=f(x,y)，其中f(x,y)对x,y解析，方程解y=f(x)要通过点(x0,y0)，这个方法是引入一串函数：,
,..
然后证明yn(x)趋于一极限y(x)，它是有且唯一满足常微分方程和y(x0)=y0的x的连续函数，这方法须假定f(x,y)满足李普希茨条件。1893年皮卡将该方法用于二阶方程，并推广到复的x,y。
上述方法不仅用于高阶常微分方程，也应用于复变量的微分方程组，柯西就把第二类存在性定理推广到n个应变量的一阶常微分方程组和复域中的方程组。柯西1842年的结果是给定方程组
设它们可在初值x=ξ，y0=η0，..,yn-1=ηn-1的邻域内用x-ξ,y0-η0，...，yn-1-ηn-1的正整数幂展开，于是有在x=ξ的邻域内收敛的x-ξ的n个幂级数，把它们代入方程组时满足方程，这些幂级数是唯一的，它们给出方程组取初值的一个正则解。这个思想已经可以满足建立解的存在性和在复平面上一点的邻域内求解。同年魏尔斯特拉斯也得到该结果，但1894年才发表。
