趣味数学：从一个经典竞赛题学习面积方法和燕尾模型

从一个经典竞赛题学习面积方法和燕尾模型

已知：如图，\triangle PAB 中， C,D 分别为 PA,PB 边上的点，CD//AB, AD 与 BC交于点 Q, PQ 交 AB 于点 M.

求证：MA=MB.

【证明】

∵ CD//AB,

∴ \triangle ABC 与 \triangle ABD 共底且共高，

∴ S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD}

∴ S_{\triangle ABC} : S_{\triangle PAB} = S_{\triangle ABD} : S_{\triangle PAB}

又∵ S_{\triangle ABC} : S_{\triangle PAB} = CA : PA

S_{\triangle ABD} : S_{\triangle ABP} = DB : PB

∴ CA:PA=DB:PB

∵ S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD},

S_{\triangle QAC} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle QAB},

S_{\triangle QBD} = S_{\triangle ABD} - S_{\triangle QAB},

∴ S_{\triangle QAC}=S_{\triangle QBD}

∵ S_{\triangle QAC}=S_{\triangle QBD}

S_{\triangle QAC}:S_{\triangle QPA}=CA:PA

S_{\triangle QBD}:S_{\triangle QPB}=DB:PB

CA:PA=DB:PB

∴ S_{\triangle PQA}=S_{\triangle PQB}

∵ S_{\triangle PMA}:S_{\triangle PMB}=MA:MB

S_{\triangle QMA}:S_{\triangle QMB}=MA:MB

S_{\triangle PQA}=S_{\triangle PMA}-S_{\triangle QMA}

S_{\triangle PQB}=S_{\triangle PMB}-S_{\triangle QMB}

∴ S_{\triangle PQA}:S_{\triangle PQB}=MA:MB

又∵ S_{\triangle PQA}=S_{\triangle PQB}

∴ MA=MB

证明完毕.

【提炼与提高】

这是一道很有名的竞赛题。命题人是两位老前辈：苏步青和华罗庚。

本题的证明过程用到了以下基本原理：

（1）等底等高的三角形，面积相等；

（2）共高而不等底的三角形，其面积比与其底边的长度之比相等；

在证明过程中，多次应用了转化：面积比转为线段长度比；长度比转化为面积比。

关于本题的背景和面积方法的进一步讨论，可参见：《新概念几何》（张景中著）。

本题中，S_{\triangle PQA}: S_{\triangle PQB}= MA:MB, 这一比例关系并不依赖于两条直线的平行关系，应用范围十分广泛。因为形似燕尾，所以被称为燕尾模型。

这一模型的基础就是面积公式，没有用到高深的知识，但应用却十分灵活广泛，因而深得数学竞赛的命题人喜爱，值得大家重视。

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