二次型

二次型基本概念

定义：二次型是只含二次项的多项式，形如

f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_i x_j

通常取 a_{ij}=a_{ji}，这样二次型可以用实对称矩阵表示。

二次型的矩阵表示

令

x=\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}, \quad A=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}

则二次型可写成

f(x)=x^T A x

其中 A 是对称矩阵，即 A^T=A。

二次型的例子例子

f(x_1,x_2)=2x_1^2+4x_1x_2+5x_2^2

对应的矩阵为

A=\begin{pmatrix} 2 & 2\\ 2 & 5 \end{pmatrix}

因为交叉项 4x_1x_2 中，2a_{12}=4，所以 a_{12}=a_{21}=2。

线性替换与矩阵合同

令

x=Cy

其中 C 可逆，则

f(x)=x^T A x=(Cy)^T A(Cy)=y^T(C^T A C)y

新矩阵 C^T A C 与 A 称为合同。

合同标准形

通过非退化线性替换，二次型可以化为只含平方项的形式：

f=d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2

这称为二次型的标准形。

常用方法有：

  • 配方法
  • 合同变换法
  • 特征值法

规范形与惯性定理

实二次型还可以化为规范形：

f=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2

其中：

  • p 是正惯性指数；
  • q 是负惯性指数；
  • p+q=\operatorname{rank}(A)。

惯性定理：无论用哪种非退化线性替换，正平方项个数和负平方项个数都不变。

正定二次型

若对任意 x\neq 0，都有

f(x)>0

则称 f 为正定二次型。

等价条件：

  • 所有特征值都大于 0；
  • 所有顺序主子式都大于 0；
  • 矩阵 A 合同于单位矩阵 I。
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