高等数学复习笔记7（多元函数积分——三重积分）

三重积分

定义

$\rho=f(x,y,z)$
$\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz=\iiint_\Omega f(x,y,z)dv$
$dxdydz=dv$ 被称做“体积元素”。

物理意义

若 $\rho=f(x,y,z)$ 表示某物体在点 $(x,y,z)$ 的密度， $\Omega$ 是该物体所占据的空间区域，那么三重积分 $\iiint_\Omega f(x,y,z)dv$ 表示其质量。

计算

将三重积分化成三次积分来算，或者转换成一个二重积分加一个一重积分。
$\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz=\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}dy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$
$\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz=\int_a^bdz\iint_{D_z}f(x,y,z)dxdy$
例题1
计算三重积分 $\iiint_\Omega xdxdydz$ ，其中 $\Omega$ 为三个坐标面及平面 $x+2y+z=1$ 所围成的闭区域。

例题1.png

\iiint_\Omega xdxdydz=\int_0^1dz\int_{0}^{1-z}dx\int_{0}^{\frac{1-x-z}{2}}xdy=\frac{1}{48}

\iiint_\Omega xdxdydz=\int_0^1dx\int_{0}^{\frac{1-x}{2}}dy\int_{0}^{1-x-2y}xdz=\frac{1}{48}

都可以的。

例题2

例2.png

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