最好的教就是让学生学会学，最好的学就是让学生去讲、去说、去表达。学生在学习时缺少的可能是资源、工具、路径等等，教师要给学生提供支架，辅助学习。徐州李贺教研员评课内容：

    面积就是面的积累，无论是苏教版的教材上，还是人教版的教材上，他们编排的内容大致都是一样的，都是由正方形和长方形的面积。由这个最简单的底乘以高，一行有几个小正方形乘以几行，由这个知识演变到形变，进而就是由特殊到一般这样的一个变法。那么在这里呢，学生老师给学生很多的机会，让学生自己去思考啊，探究平行四边形的面积。老师的意图是想让学生通过割和补的方法。形成转化的思想，将新知转化为旧知。这样指导是非常好的，这也是一个路径，也是两本教材的路径。如果教学要落地的话，所谓什么是落地，就是将你的思想要让学生能够简单的去理解和掌握，我们不能形而上学，完全用理论的语言去告诉他，这是转化，其实他自己是体会不到的。那因此在这里呢，在教学中我们可以紧紧的抓住学生所说的三个动词。当学生说补的时候，老师可以把这个补字写在黑板上，学生说拼的时候，这个拼字写在黑板上，说移的时候，这个移字写在黑板上，补拼移就是转化的方法。那所以说，你要说转化，那学生他理解不了。这是数学思想，数学思想需要什么？需要你的动作，需要你的落地的词语，需要生活语言去让他理解。那因此呢，就是说在这一点儿可以再细一点。尤其学生说的补拼移像这样的词，这都是意味着可以转换，可以变形。那在这个过程中，往往是形变量不变。这都是我们数学里一些数学味道的东西，数学的理念，这是在观课的时候，记得第一点。

    我们研究平行四边形的面积，我们老师，肯定是想让同学们将这个平行四边形的这个形往长方形、正方形上去转换。但是就是说还是刚才落在转化上，你转化什么样的图形，或者什么样的知识才能转化，那你能转化，它肯定是有一定特征的，要没有特征，它怎么就转化了，那你说他没有任何这个关系的图形，它怎么转化，那因此呢，在这个地方其实还是可以再慢一点。往往，老师都会这样上。探究平行四边形的面积，那在这个地方，也可以再留一步。就是说，往往的课堂就是味道是有了，但是有时候不浓的原因是什么呢？就是细节有时候抓的不够细。像这个平行四边形，你学的长方形、正方形，它转化，它之所以能转化我们老师是可以问一句，今天我们学的平行四边形和昨天的正方形和长方形。有一种共同的特征，其实平行四边形就是长方形，这个对长方形正方形它就是平行四边形。它是不是特殊的，它的这样一个包含与被包含的关系，那所以平行四边形，今天研究的平行四边形，它与之前昨天研究的长方形。它都有一条边是直直的，它都有四条边，那它有什么不同之处，这个也可以拿出来先研究研究，它有一旁边垂直这个是长方形和正方形。它的这种邻边是垂直的关系，而我们手中拿到的平行四边形，它也可以是垂直的关系，但是特殊的平行四边形，但是一般的平行四边形，它的一组邻边之间都是有一个角度的。那用学生的语言来说，他一一一条边是平，是平着放的，那另一条边就是斜的，所以说，如果我们问这样一个问题，就是今天研究的图形和昨天研究的长方形、正方形有什么相同和不同？这是一个细节，通过这样一个细节，学生就会对一个图形的研究多了一种习惯，那这个习惯就是观察。从观察特征中才能逐渐的有迁移的这样一个方向，如果不加观察的话，你直接就抛给他问题去研究，那学生这种研究的思维，研究的这种习惯如何而来？我们教师是需要培养的。那图形的研究就要抓住图形的特征，而图形的教学就要抓住观察、想象、操作、思考、表达。那所以说呢，在这一块儿的处理上，我们可以就是说再提这样一个问题啊，有什么相同和不同之处，昨天学的图形和今天学的图形，引导学生培养学生的几个主观。当然了，这样一个观察也是给他一个空间，让他有迁移的一个起点。这是这个第二个方面。

    学生在这一块儿，因为有了之前的这个学习的经验，那今天，我们这一节课学生的就是去证明将平行四边形转化为长方形和正方形，大家也能感受到其实这个过程并不难。学生有将整个三角形进行平移，让它变成长方形；也有将这个平行四边形中的这个小方格中的小的三角形，一个一个的平移到右边，也是这个将它进行形变，最后这个转化为长方形。这个地方，在我们两地的教学中，这都不难，为什么呢？因为有了一种方法，有些学生是将小三角形一个一个平移，平移了4个以后，其实很多学生后续的方法是受其中一个学生的点拨，进而就产生了。所以，因为有的时候这种并不完全是他的主观思维，而是他通过看其他同学的这种方法以后模仿的好。当然了，这种模仿也是数学中思想的一种，也是一种这个引导，但是最关键的今天这一节课转化不光是形的转化，其实比较关键的是量的转化和形的转化，形。在教学的时候，形和量，数和形是一一对应的，这个转化一定要跟上。这个转化之间就存在我们后续所学的一个推理，就是等量代换。所以说，教学，只有站到高位上，你才能知道学生下一步他要学的东西要到哪去。你才能游刃有余的去指挥你的学生，就是今天形状变化了，量有没有变化，那它这个这个平行四边形的底转化完了以后，形变了，量有没有变。那这个量如何没有变的？为什么没有变？这种数学语言还是要引导学生说清楚。比如说这个三角形转移到平移到了右边，那这个三角形的这一段儿长就转化到了右边，那这一段的长加上另外一段长，比如说A+B。现在就变成了B+A，它的长度是怎么样没有变，那在这后续的几何的学习中会涉及到推理。这个A+B和B+A，它的位置发生变化，但它的量没有发生变化。那因此，平行四边形的面积仍然可以作为底乘以谁。一个问题：平行四边形的高和长方形的宽有什么不一样？长方形的面积是长乘以宽。为什么平行四边形的面积长不叫长了，而叫底了，那个宽也不叫宽了，而叫高了？还有在还有一个问题，长方形的周长。它是四条边的和，平行四边形的周长也是围成它的四条边的和，但是长方形的周长它不变的情况下，它的面积变不变，那平行四边形周长不变的情况下。它的面积变不变，这是一个难点。今天学这一节课的时候，那孩子能记住平行四边形的面积，就是底乘以高，那个高为什么？内层邻边了，它为什么就是这个平行四边形的面积，不是这个横着的底乘以它儿的邻边对吧？那长方形的面积是长乘以宽，是不是两个相邻边的乘积。那平行四边形的面积周长是有的，那面积为什么不是这条边与那条边的乘积了？往往这段时间学完以后还在做题，容易搅拌。他容易在第一节课学的时候，平行四边形的面积是底乘高。可能后来做着做着学的知识一多了，再求平行四边形的面积，它就是两组邻边乘积了。因此呢，就这一节课。老师是不是还要问一个问题，就周长一定的平行四边形，它的面积一定了？周长肯定是定的，对吧？它的面积为什么不一定？因为平行四边形，四边形具有不稳定性，它的不稳定性就决定了。平行四边形在周长一定的情况下，它的形是在变化的，而它变化的过程中，周长没变，临边也没有变什么，变了高点。所以说，平行四边形的面积和长方形的面积如果要做对比的话，长方形的面积是长乘以宽，平行四边形的面积能不能是两组邻边成接就不能。每一次也会引发我们去研究平行四边形这种图形，它的面积公式和长方形的就不一样。是那个底不变的乘以谁，因为它在这个形变的过程中，周长也就是邻边一组邻边的长始终没有变，只有什么变化。在变化过程中，逐渐的压扁，逐渐的变高，就是两组平行线间的距离，那因此就是说，如果你要说原理的话，那就是说周长一定的平行四边形，也就是一组邻边相等的平行四边形。它是在不断变化，那它变化的过程是谁没变，那个底始终没变形变的过程是不是主要就是那个高变了，而这个高又是什么？又是两股平行线间的距离。那因此平行四边形的面积是底乘以高，而不是底乘以它的这个邻边。问题，这都是后续学生在学完了其他的图形的面积以后容易搅拌下来的问题。所以说，有些东西我们还要适时的在课堂上讲清楚这个原理，在变化的过程中寻找不变的量，让学生去发这个面。真正变化的原因，这是一个我们在这个听课的时候就是思考的另外一个就是说。还有一个呢，就是在复杂的背景下，我们今天这一节课，我们的老师也应该能意识到，老师呢，在这一节课上给出的平行四边形。包括我们正常的老师都是这样，就是我们在做这个病理的这个推导的过程中，概念形成过程中。图形都是比较标准的，所谓的标准就是横平竖直的方。那今天我们见到的平行四边形，除了最后的这个习题上的平行四边形的底和高，是啊，斜着的那条高作为底高也给你画出来了，做计算题。那我们一般的推导过程中，和整节课中所见到的平行四边形都是横平的竖直着放。因此，这样的话，就降低了观察的维度，就是你想培养学生的观系。其实，真正的观察你高阶思维是应该在复杂的背景之下能够找到它的底啊。当然了，在推导的过程中，咱肯定是就是正常的这样很容易的观察。你是谁？他和原来的谁是一致的。那高是谁？他是和原来的是一致的。嗯，但是呢，在这一节课，如果这个定理形成的过程中，由特殊已经到一般的方格值已经给抹去了以后，这个面积公式已经敲定了，再加上刚才我说的这样的一个平面以后，最后我。搞清楚了，真正导致它面积发生变化的是它的那个底是等量加等量不变，它的那个高是由于它的这个是两平行线间的这个距离以后。我觉得我们还可以再加一点，在复杂的环境中去识别它的底和高，如果你刚才经历了这样一个形变的过程，到勾的这样一个过程以后。无论你这个就是你搞清楚了这个原理以后，无论你这个平行四边形，你怎么放，学生都知道了，底是谁，这个高应该如何找，应该去找那两条平行线间的什么距离。这个地方如果定好了以后，就平行四边形的高，你在这个地方讲通了以后，其实三角形内容也攻破了啊，其实大家都知道三角形的这个高。尤其是那个钝角的三角形，那个高其实是很难找，我有过初中的经历，我在中学呢，教了17年的书啊，其实可以说呢，对于小学教育，我可能还是一名新居啊，和下面的。就是一些资深的老师啊，但是呢，我有很多的一些经验，实话实说，都是看到初中生以后，有了初中的教学以后又去反思，正好现在呢，就是研究小学就去思考。哎，为什么现在小学和初中它有这样的一个衔接，始终都是我们的一个难点和痛点。今天的这一节课我就有很大的难处，很多初中的学生到了初中那种钝角三角形的那条高找不到啊，找到的原因，后来我到了小学，听了小学的课以后，我就。分析了，当然了，我们的老师可能不会这样。因为我在群中呢，听了一些小学老师的课，我就觉得我们的那个高小学老师上的那节课，那个高找的太死了。就是那个高老师就说这是高过这个顶点，向对边做垂线，这条线段就是三角形的高，其实他没弄清楚什么是高，高应该是3角形的那个顶点。过那一顶点的那条直线，与下面的那个平行的那条线之间的距离都是三角形的高，三角形的高并不是唯一的，从那个顶点到对边。线它应该是过那个那零点一一条直线与下面平行的这条直线间的距离，其实都是这个三角形的高，其中这个底上的高，所以说我就引起了一些想法，就是说为什么。我们的有时候的教学，我觉得还是要追原理的，而不是追这个形式啊，这个原理啊。这是今天这一节课，就是对于这个高的一个想法，就是平行四边形，为什么这一节课不是零边了，而是那个高。那个高又是起到了一个什么作用啊？那个高是个变化，只要平行四边形的形变，那么两平行线间的距离就变，就是高，而与它的邻边是没有任何关系的啊。好，这是我们今天的就是这个结合的一个思考。

    几何的教学，对中高年级学生来说，在课堂上要关注学生数学语言表达的标准，小学主要是学生的观察、想象、操作，初中要加上推理。教师标准的推理的数学语言要到位，给学生初中顺利衔接打好基础。