矩阵分析（三）基与坐标

设 $V$ 是 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，若有正整数 $n$ 及 $V$ 中的向量组 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ ，使得

$\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ 线性无关
任取向量 $\alpha \in V$ 均可由 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ 线性表示
$\alpha=\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+···+\alpha_nk_n \\ =\begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n\end{bmatrix} \\ =\begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n\end{bmatrix}X$

则称 $V$ 是 $\mathbb{F}$ 上的有限维线性空间，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ 称为 $V$ 的一个基，其中 $X$ 称为向量 $\alpha$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ 下对应的坐标，基向量组中向量的个数 $n$ 称为 $V$ 的维数，记为 $dim(V)$

证明一组向量是线性空间的基，分两步

证明这组向量线性无关
证明线性空间任意向量可由这组向量表示

是否任意一个线性空间都有位数？
答案是否定的，下面举一个无限维线性空间的例子。

举几个有限维线性空间维度的例子

例1

$V = \mathbb{R}, \mathbb{F} = \mathbb{R}$ ，求 $dim(V)$

例2

$V = \mathbb{C}, \mathbb{F} = \mathbb{R}$ ，求 $dim(V)$

例3

$V=\mathbb {C}, \mathbb {F}=\mathbb {C}$ ，求 $dim(V)$

例4

$V = \mathbb{R}, \mathbb{F} = \mathbb{Q}$ ，求 $dim(V)$

零维线性空间

规定仅含一个元素的线性空间（零线性空间）为零维线性空间，其维数规定为0，零维线性空间也算作有限维线性空间。

例5

试证：所有 $n$ 阶对称矩阵组成 $\frac{n(n+1)}{2}$ 维线性空间；所有的 $n$ 阶反对称矩阵组成 $\frac{n(n-1)}{2}$ 维线性空间

例6

例7

过渡矩阵

设 $(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)$ 和 $(\beta_1,\beta2,...,\beta_n)$ 是 $n$ 维空间 $V_n(F)$ 中的两组基底，则有 $A \in F$

$(\beta_1 \; \beta_2 \; ... \; \beta_n) = (\alpha_1 \; \alpha_2 \; ... \; \alpha_n)A$
其中 $A$ 称为从基 $(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$ 到 $(\beta_1 \; \beta_2 \; ... \; \beta_n)$ 的过渡矩阵。

几个过渡矩阵的定理：

过渡矩阵可逆
${\alpha_i}$ 到 ${\beta_j}$ 的过渡矩阵是A，则 ${beta_j}$ 到 ${\alpha_i}$ 的过渡矩阵是 $A^{-1}$
给定一个可逆矩阵 $A$ ，以及一个基 $(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)$ ，就可以找到另一个基
若从基 $\alpha_1,...,\alpha_n$ 到基 $\beta_1,...,\beta_n$ 的过渡矩阵是 $A$ ，从基 $\beta_1,...,\beta_n$ 到基 $\gamma_1,...,\gamma_n$ 的过渡矩阵是 $B$ ，则从基 $\alpha_1,...,\alpha_n$ 到基 $\gamma_1,...,\gamma_n$ 的过渡矩阵是 $AB$

重要推论：坐标变换关系
设向量 $\gamma$ 在基 $\alpha_1,...,\alpha_n$ 与基 $\beta_1,...,\beta_n$ 下对应坐标分别是 $X$ 与 $Y$ ，且从基 $\alpha_1,...,\alpha_n$ 到基 $\beta_1,...,\beta_n$ 的过渡矩阵是 $A$ ，即：
$\begin{aligned} \eta &= (\alpha_1 \; \alpha_2 \; ... \; \alpha_n)X\\ \eta &= (\beta_1 \; \beta_2 \; ... \; \beta_n)Y\\ (\beta_1,...,\beta_n)&=(\alpha_1,...,\alpha_n)A \end{aligned}$
显然有: $X = AY$