双曲线：2018年全国卷C题11

设 $F_1,F_2$ 是双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0, b \gt 0)$ 的左，右焦点， $O$ 是坐标原点. 过 $F_2$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ . 若 $|PF_1| = \sqrt{6} |OP|$ ，则 $C$ 的离心率为

$A.\sqrt{5} \qquad B.2 \qquad C.\sqrt{3} \qquad D.\sqrt{2}$

【解析】

记渐近线的倾角为 $\alpha$ , 则 $\dfrac{1}{\cos^2 \alpha}=k^2+1=\dfrac{c^2}{a^2}$

$\cos^2\alpha=\dfrac{a^2}{c^2}$

$x_{_P}=c \cdot \cos^2 \alpha = \dfrac{a^2}{c}$

$y_{_P} = \dfrac{a^2}{c} \cdot \dfrac{b}{a}=\dfrac{ab}{c}$

$|OP|^2=\dfrac{a^4}{c^2}+\dfrac{a^2b^2}{c^2}$

$|PF_1|^2=(\dfrac{a^2+c^2}{c})^2 + \dfrac{a^2b^2}{c^2}$

$|PF_1|^2=6|OP|^2$

$(a^2+c^2)^2 + a^2b^2=6a^4 + 6a^2b^2$

$a^4+c^4+2a^2c^2=6a^4+5a^2b^2$

$(a^2+b^2)^2+2a^2(a^2+b^2)=5a^4+5a^2b^2$

$2a^4+a^2b^2-b^4=0$

$(2a^2-b^2)(a^2+b^2)=0$

$b^2=2a^2$

$c^2=3a^2$

结论：选项C正确。

【提炼与提高】

这是一个综合性考题，应用圆锥曲线和三角函数的知识，不难解决。

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