解析几何客观题：2022年新高考数学全国卷题11

2022年新高考数学全国卷题11

已知抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在抛物线 $C$ 上， $A(-\dfrac{5}{4},0)$ , 若 $\triangle PAF$ 为等腰三角形，则直线 $AP$ 的斜率可能为

$A.\dfrac{4\sqrt{2}}{7} \quad B.\dfrac{2\sqrt{5}}{5} \quad C.\dfrac{\sqrt{2}}{2}\quad D.-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

【分析】

抛物线 $C$ 的焦距 $p=2$ , 焦点坐标为 $F(1,0)$ .

$|AF|=\dfrac{9}{4}$

线段 $AF$ 的垂直平分线为 $x= - \dfrac{1}{8}$ ; 因此， $PA=PF$ 不可能成立；

我们需要考虑的是另外两种可能性： $FA=FP, PA=PF$ .

在开始计算前，需要估算一下计算量，选择一条较为经济的解答路线.

就本题而言，有两条路线可选：一是把根据四个选项的斜率写出直线方程，与抛物线方程联立求出交点坐标，再计算线段长度，作出判断；二是根据两条边相等这一条件，求出点 $P$ 坐标, 然后计算出斜率.

初步估算，第二条解题路线的计算量会小一些.

【解答】

设点 $P$ 的坐标为 $(t,u)$ , 因为该点在抛物线上，所以 $u^2=4t$ ;

若 $FP=FA$ , 则 $|FP|^2=|FA|^2=(\dfrac{9}{4})^2$ ,

$(t-1)^2+4t=(\dfrac{9}{4})^2$

$(t+1)^2=(\dfrac{9}{4})^2$

$t_1=\dfrac{5}{4}$ , $t_2=-\dfrac{13}{4}$ （舍弃）,

点 $P$ 坐标为 $(\dfrac{5}{4}, \pm \sqrt{5})$ , 相应的 $AP$ 斜率为 $\pm \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ .

选项B正确.

若 $AP=FA$ , 则 $|AP|^2=|FA|^2=(\dfrac{9}{4})^2$ ,

$(t+\dfrac{5}{4})^2+4t=(\dfrac{9}{4})^2$

解得： $t_1=\dfrac{1}{2}, t_2=-7$ （舍弃）

点 $P$ 坐标为 $(\dfrac{1}{2}, \pm \sqrt{2})$ , 相应的 $AP$ 斜率为 $\pm \dfrac{4\sqrt{2}}{7}$ .

选项A正确.

结论：正确选项是：AB.

【提炼与提高】

本题涉及解析几何中一些核心和常见的问题：求交点的坐标；求直线的斜率；

两线段长度相等，也是常见的条件.

总之，这是一个常规的解析几何考题，难度中等. 因为有两个选项，要考虑两种情况，计算量略大.

从大方向来说，在高考数学中减少单选题，增加多项题和填空题，是一种趋势.

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