a.在集合范畴中，考虑一个集合X和一个图D，他是有X的有限子集和这些有限子集之间的标准含入构成的。这个图是滤过的，因为空集是X的有限子集，并且任意两个有限子集的并是有限子集。注意到这个图绝不会包含两个不同的平行箭头。这个图的滤过余限制显然就是X。

b.在交换群范畴中，群A的有限生成子群，以及这些子群间的标准含入同样构成了一个滤过图，余限制显然是群A自身。

c.考虑偏序集，也就是自然数集在小于等于下构成的偏序集，将其视为范畴。显然他是一个滤过范畴。验证一下，首先，满足非空，其次，对任意两个自然数，存在某个自然数小于等于这两个数，自然数在小于等于下是良序的，总有最小元满足这个条件，最后，对于任意的平行箭头，存在某个箭头，复合后的箭头相等，由于任意两个自然数间只有一个小于等于箭头，所以自动成立。于是确实是一个滤过范畴。另一方面，考虑一个有限集I，将其视为离散范畴。于是函子就是一族序列，可以认为，范畴N其实就是箭头连接的一个自然数序列，范畴I提供了一个索引，因为是有限集，所以就是I的基数个序列，经过函子的映射，将整个结构映到集合范畴中，得到的就是经I索引的，箭头连接的集合列。混合交换性应用上去，就证明了这样的同构，积的存在时因为离散范畴到集合范畴的限制就是笛卡尔积。

d.带有终对象的范畴显然是滤过的，但是计算定义在这样的范畴上的函子的余限制和这个性质不太相关。

反例

有限限制和滤过余限制的混合交换性并不是普遍成立的。在许多范畴中，尤其是带有拓扑的范畴，这个性质并不成立。考虑图2.24关于拓扑空间和连续映射构成的范畴中的例子，对象定义为

等价关系，这里没看懂，确定了0和1/n的两个副本。态射是

是两个标准单射。

后面就不看了，反正对于带拓扑的范畴，这种交换性往往不成立。

就到这了，这几天看的都比较快，只能说比较浮躁，难以静下来仔细揣摩，收获也就很小。学习不能浮在表面上，还是得静下心，慢慢来。