方程与曲线：2014年文数全国卷A题20
（20）（本小题满分12分）
已知点 ，圆
，过点
的动直线
与圆
交于
两点，线段
的中点为
，
为坐标原点.
（I）求 的轨迹方程;
（Ⅱ）当 时，求
的方程及
的面积.
【分析】
假如要从高中数学的研究对象中评选出一个最核心的、高考中出场最频繁的，那答案应该就是圆。
圆内有无数的等腰三角形和直角三角形。所以，与圆相减的问题，经常可以用三角形的知识来解决。
【问题1的解法一：向量方法】
圆 的方程可以变形为：
可见，圆 的圆心坐标为
, 半径为
.
因为点 是线段
的中点，根据垂径定理，
,
设点 的坐标为
, 则
整理后得：
结论： 的轨迹方程为：
【问题1的解法二：勾股定理】
圆 的圆心坐标为
, 半径为
. 依据垂径定理可知：
,
设点 的坐标为
, 则
整理后得：
结论： 的轨迹方程为：
【问题1的解法三：斜率之积】
圆 的圆心坐标为
, 半径为
. 依据垂径定理可知：
, 所以两条直线的斜率之积为
, 即
设点 的坐标为
, 则
整理后得：
结论： 的轨迹方程为：
【问题1的解法四：几何方法】
圆 的圆心坐标为
, 半径为
. 依据垂径定理可知：
.
因为 是定点，点
是动点，且
，根据平面几何的知识，点
的轨迹是以
为直径的圆。
其半径为 , 其圆心为
所以， 的轨迹方程为
【问题2的解法一：两个圆的公共点】
如图所示，因为 ，点
满足以下方程：
结论问题1的结论可知，点 满足如下方程组：
解得：
显然，这是 两点的坐标。
直线 的方程为：
点 到
的距离为：
【问题2的解法二：直线与圆的公共点】
由题设条件可知： 是等腰三角形，直线
是
的垂直平分线。
直线 的方程为：
点 满足如下方程组：
以下同方法一。
【提炼与提高】
本题难度不高，但却很有典型性、代表性。这样的考题就是地标性考题。
作为一个典型例题，本题很好地回答了这样一个问题：
如何利用已知条件中的直角？
在解析几何中，应该从以下几个方向考虑：
1）向量之积为 ；
2）勾股定理；
3）斜率之积等于 ；
4）直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半；
本题第1问的四种解法分别展示了以上四个方向。
本题中还可以提炼出一个常用结论。
『常用结论』： 如果圆的弦经过圆内一个定点，则弦的中点的轨迹是一个圆。
在最近十年的高考题中，有若干个考题可以用这一结论破解。
