1.10 有限Abel群的结构问题

分别确定 $12$ 阶, $108$ 阶, $360$ 阶, $144$ 阶, $216$ 阶 Abel 群的互不同构的类型。

【解答】① $12 = 2^2 \times 3$ ，所以12阶 $Abel$ 群的初等因子只可能有两种情况. $\{2,2,3\}$ 和 $2^2,3$
它的两种同构类型分别是 $Z_{2^2}\oplus Z_{3} \cong Z_{12}$ 和 $Z_2 \oplus Z_2 \oplus Z_3$
② $108 = 2^2 \times 3^3$
他的初等因子有可能是 $\{2,2,2,3,3\},\{2,2,3,3^2\},\{2,2,3^3\},\{2^2,3,3\},\{2^23,3^2\},\{2^2,3^3\}$
③ $360 = 2^3\times 3^2 \times 5$
④ $144 = 2^4 \times 3^2$

求下列 Abel 群的初等因子：
(1) $(\mathbb{Z}_{10}, +) \oplus (\mathbb{Z}_{15}, +) \oplus (\mathbb{Z}_{20}, +)$ ；
【解答】 $10 = 2 \times 5,15 = 3 \times 5, 20 = 4 \times 5$
因此这个群的初等因子是 $\{2,2^2,3,5,5,5\}$
(2) $(\mathbb{Z}_{28}, +) \oplus (\mathbb{Z}_{22}, +)$ ；
(3) $(\mathbb{Z}_{9}, +) \oplus (\mathbb{Z}_{14}, +) \oplus (\mathbb{Z}_{5}, +) \oplus (\mathbb{Z}_{16}, +)$ 。
设 $G$ 是 $100$ 阶 Abel 群。
(1) 证明 $G$ 必含有 $10$ 阶元；
【证明】我们考虑 $G$ 的初等因子 $100 = 2^2 \times 5^2$ ,这样的群只有四种，我们只需要验证他里面的每个群都有10阶元。

(2) $G$ 的初等因子应当怎样才能使 $G$ 不含阶大于 $10$ 的元素？

【解答】初等因子选取 $\{2,2,5,5\}$ 这样 $G$ 中所有元素的阶都不超过10.

证明：如果有限 Abel 群的阶没有平方因子，那么它必为循环群。

【证明】这说明它的所有因子都为单个素数。
$G \cong Z_{p_1} \oplus Z_{p_2} \oplus \cdots Z_{p_r} \cong Z_{p_1p_2\cdots p_r}$ 是一个循环群。

证明：如果一个 Abel $p$ -群恰好含有 $p - 1$ 个 $p$ 阶元，那么它一定是循环群。
【证明】：不妨设 $G \cong Z_{p^{k1}} \oplus Z_{p^{k2}} \oplus \cdots \oplus Z_{p^{kr}}$
其中 $k_1 \leq k_2 \leq \cdots \leq k_r,且k_1 +k_2 + \cdots +k_r = m$

在 $Z_{p^{k_1}}$ 中有 $p-1$ 个 $p$ 阶元，这样就说明在 $G$ 中共有 $p^r-1$ 个 $p$ 阶元。[满足 $x^p = 1$ 的只有单位元 $e$ 和 $p$ 阶元共 $p$ 个,所以在 $G$ 中满足这一条件的只有 $p^r$ 个元素，我们再把 $G$ 中的单位元删去，所以只有 $p^r-1$ 个
显然 $r$ 只能等于 $1$ 。这样就说明了 $G \cong Z_{p^k}$ 是一个循环群。

设 $p$ 是素数, $V$ 是域 $\mathbb{Z}_p$ 上的 $n$ 维线性空间, $V$ 的加法群 $(V, +)$ 是不是初等 Abel $p$ -群？

【解答】 $V \cong Z_p^n = \{(a_1,a_2,\cdots,a_n)| a_i \in Z_p,i = 1,2,\cdots,n\}$ 因此
$Z_p^n \cong Z_p \oplus Z_p \oplus \cdots \oplus Z_p$
它的初等因子分别为 $\{p,p,\cdots,p\}$ 是一个初等 $Abel\ p-$ 群。

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