三棱柱：2020年全国卷B题20
分值：12 分
如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，侧面
是矩形，
分别为
的中点，
为
上一点，过
和
的平面交
于
，交
于
.
（1）证明∶ , 且平面
平面
;
（2）设 为
的中心. 若
// 平面
,且
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【解答问题1】
∵ 是矩形，
分别为
的中点，
∴ 是矩形，
,
∵ ,
.
∵ 是矩形，
∴ ,
∵ 是正三角形,
是
的中点，
∴ ,
∵ ,
∴ 平面
又∵ 平面
,
∴ 平面 平面
.
【解答问题2】
以点 为原点建立直角坐标系，并以
为
轴，以向上为
轴正方向.
令 , 则可得以下点的坐标：
∵ 平面
,
∴ 平面
,
∴
设 两平面的距离为
,
则点 的坐标可设为
,
相应地，平面 上几个点的坐标如下：
∵ // 平面
, 平面
平面
,
∴
∵ 平面 平面
平面 平面
平面 平面
∴
∵ ,
,
∴ 是平行四边形,
, 由此确定以下坐标：
∵
∴
∵ 平面
,
∴ 平面 的法向量为
∴ 直线 与平面
所成角的正弦值为
.
【提炼与提高】
在问题1的解答过程中，平面几何的几个常用命题起到了重要作用，我们小结一下：
「矩形是一类特殊的平行四边形，它具有以下性质：」
「矩形的对边平行且相等；」
「矩形的四个内角都等于 ；」
等腰三角形具有三线合一的性质，具体说来就是：
「等腰三角形底边上的中线与底边垂直。」
在问题1中还用到了立体几何的以下知识：
「平行的传递性」：如何两条直线都与同一条直线平行，则这两条直线相互平行；
「垂直的转换」：由线线垂直推出线面垂直，由线面垂直推出面面垂直。
问题2显然是一个适合用向量方法来解决的问题。
在此过程中需要用到以下几何知识：
由线面平行推出线线平行： // 平面
正三角形的性质：正三角形的外心、内心、垂心和重心合一，称为正三角形的中心；所以 .
在问题2的解答过程中需要避开一个易错点：虽然侧面 是矩形，但
不一定是矩形，
与平面
也不一定是垂直的。有部分学生可能会自己添加条件，从而造成丢分.
