弦长和面积：2016年理数全国卷A题20
（20）（本小题满分12分）
设圆 的圆心为
，直线
过点
且与
轴不重合，
交圆
于
两点，过
作
的平行线交
于点
（I）证明 为定值，并写出点
的轨迹方程;
（Ⅱ）设点 的轨迹为曲线
，直线
交
于
两点，过
且与
垂直的直线与圆
交于
两点，求四边形
面积的取值范围.
【问题I的结论】
用平面几何知识可以证明：, 其中
代表 圆
的半径。所以：
点 的轨迹是一个椭圆（左右两个端点除外），其半长轴为
, 焦点坐标为：
.
点 的轨迹方程为：
【针对问题Ⅱ的探究与猜想】
在正式进行推导前，我们对题中的四边形作一些探究和猜想。
四边形的两条对角线相互垂直，暂时忽略直线 与
轴不重合这一限制，可以看出两种特殊情况。
特殊情况一： 轴
特殊情况二： 轴
由于直线 与
轴不重合,
是一个可以接受但不可等于的值.
【解答问题Ⅱ】
设 的斜率
, 则
,
的方程为：
,
方程为：
满足如下方程组：
消元后得：
满足如下方程组：
消元后得：
∴ .
【提炼与提高】
本题就是典型的地标题。几乎所有的教辅书都选了这个题。
在直角坐标系中解答本题，需要闯过以下关卡：
1）几何分析：
根据圆及等腰三角形的性质推出结论：， 并得出点
的轨迹方程。
2）面积公式
四边形 可以分解为两个三角形，
,
又因为 , 所以
3）用韦达定理算弦长
这是解析几何中的常规操作。在实际解题过程中，有两种选择，一种是用 坐标之差来计算；另一种是用
坐标之差。
本题中，两根弦分别用了两种方法：
4）函数思想及方法
从函数的角度来看，我们用 的斜率视作自变量，并记作
.
随着直线 的斜率改变，
的斜率也在变化，就是变量
的一个函数；
随着两条直线的斜率变化，弦 的值也在变化，也是变量
的函数；
四边形 的面积可以根据两条弦的长度计算得出，也是变量
的函数；
其解析式如下：
在前面的解答过程中，我们没有明确地写出这一解析式，但在实质上讨论了它的定义域和值域。
5）几个小窍门
直线是解析几何中最常见的对象，在直线方程的多种形式中，以点斜式最为常用。
点斜式方程实际上有两种写法：
第一种：
第二种：
其中， 代表直线的倾角。
在很多高考题中，第二种写法会比第一种更好用。请大家注意体会。
在本题中， 的方程为：
, 而
方程为：
这样一种做法实际上有以下考虑：直线 与
轴不重合，但有可能垂直；直线
与
轴有可能重合，但不可能垂直；
在直角坐标系中解答本题，计算较为复杂。建议多练习几遍，以提高计算能力。如果能够流畅地解答本题，再遇到类似这样计算量大的问题，就会比较轻松。
当然，对于这类较为复杂的问题，我们不应当满足于简单地完成解答，还应该寻找多种解法，尤其是优化的解法。参见下文：
【相似与相关考题】
2014年的解析几何大题与本题有很强相似性，注意比较：
以下是笔者的解题手稿，供大家参考。
