弦长和面积：2013年理数全国卷B题20

（20）（本小题满分12分）
平面直角坐标系 $xOy$ 中，过椭圆 $M: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 右焦点的直线 $x+y-3=0$ 交 $M$ 于 $A，B$ 两点， $P$ 为 $AB$ 的中点，且 $OP$ 的斜率为 $\dfrac{1}{2}$ .

（I）求 $M$ 的方程;
（Ⅱ） $C，D$ 为 $M$ 上两点，若四边形 $ACBD$ 的对角线 $CD \perp AB$ ，求四边形 $ACBD$ 面积的最大值.

【解答问题I】

直线 $x+y-3=0$ 与坐标轴的交点为： $(3,0),(0,3)$

∴ $c=3,\;c^2=9$

∵ $\dfrac{1}{a^2}x^2_{_A}+\dfrac{1}{b^2}y^2_{_A}=1$ ， $\dfrac{1}{a^2}x^2_{_B}+\dfrac{1}{b^2}y^2_{_B}=1$

∴ $\dfrac{b^2}{a^2}=-(\dfrac{y_{_A}-y_{_B}}{x_{_A}-x_{_B}}) \cdot (\dfrac{y_{_A}+y_{_B}}{x_{_A}+x_{_B}})=-k_{_{AB}} \cdot k_{_{OP}}=\dfrac{1}{2}$

∴ $a^2=2b^2$

∴ $b^2=c^2=9,\;a^2=18$

$M$ 的方程为： $\dfrac{x^2}{18}+\dfrac{y^2}{9}=1$

【解答问题Ⅱ】

∵ $CD \perp AB$ , ∴ $S_{ACBD}=\dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |CD|$

因为 $AB$ 长度固定，所以四边形的面积取决于弦 $CD$ 的长度。

$CD \perp AB \Rightarrow k_{_{CD}} \cdot k_{_{AB}}=-1$

∴ $k_{_{CD}}=-\dfrac{1}{k_{_{AB}}}=1$

设 $CD$ 方程为 $y=x+t$

代入椭圆方程得： $3x^2+4tx+(2t^2-18)=0$

$x_1+x_2=\dfrac{-4t}{3} \Rightarrow (x_1+x_2)^2=\dfrac{16t^2}{9}$

$x_1x_2=\dfrac{2t^2-18}{3} \Rightarrow -4x_1x_2=\dfrac{8(9-t^2)}{3}$

$(x_1-x_2)^2=-\dfrac{8}{9}t^2+24$

$|CD|^2=2(x_1-x_2)^2 \leqslant 2\times 24$

$|CD| \leqslant 4\sqrt{3}$

当 $t=0$ 时，弦 $CD$ 的长度达到最大。

$AB$ 的方程为： $y=3-x$

代入椭圆方程可得： $3x^2-12=0$

$x_1=0,\;x_2=4$

$y_1=3,\;y_2=-1$

对应的两点坐标为： $(0,3),\;(4,-1)$

$|AB|=4\sqrt{2}$

$AB$ 与 $CD$ 的交点为： $(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2})$

结论：四边形 $ACBD$ 面积的最大值 $S_{{max}}=\dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{6}$

【提炼与提高】

『点差法』是解析几何中的常用方法。用此法可以得出推导出圆锥曲线的弦的斜率与其中点的关系。

『韦达定理』也是解析几何中的基本方法。涉及「弦长和面积」的问题，应首先想到韦达定理。

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