今日听六年级数学课“一个数除以分数”，新授内容如下：

      人教版教材和教学参考书都给出了这样的思路：“要比较谁的速度快，就是比1小时谁走的路程多。以小明为例，他2/3小时走2千米，2/3小时里包含2个1/3小时，那么1/3小时就走了1千米，1小时里有3个1/3小时，所以1小时走了3千米。

      教材中还给出如下线段分析图：

        其实，无论是自己教授这节课，还是今日听课，深刻感受到“一个数除以分数”的计算法则的推导在教学中举步维艰。教师费了九牛二虎之力通过数形结合分析、归纳，学生依然一脸茫然，直到最后归纳出一个数除以分数的计算法则：“除以一个分数就等于乘这个分数的倒数”时，教师松了一口气“终于讲完了！”学生心生疑惑：“费那么大力气干啥，讲了也白讲，依然不懂。”

        回顾教材提供的推导思路，大致分五步：

      第一步，基于学过的数量关系：速度＝路程÷时间，推出解决问题的除法算式；

      第二步，通过画图分析把除法应用题转换成用连乘解决的问题；因此书中给出的分析过程可修改如下：

      第三步，基于除法算式和连乘算式都是解决同一个问题，建立除法算式和连乘算式的相等关系；

      第四步，利用乘法结合律把后面两个数相乘，得到除数的倒数，实现“除以一个分数等于乘以这个分数的倒数”的转化；

      第五步，学生依据上面的例子类推和验证，进行不完全归纳，“发现”和总结计算规律。

      在如此迂回的推导过程中，学生理解起来倍感困难，甚至被绕的迷三道四，也是必然存在的事实。尤其是第三步，“强硬地”使用乘法结合律把后面两个数先相乘，并非是学生内心的需要、更不是计算必须的，只是为了证明而不得已而为之，学生并不能从心底比较“舒服”“自然”地认同，更不是学生自己的生成，而是被强迫地顺应。

      课后，百度搜集了北师大版、苏教版、青岛版的教材，所有版本的教材，无论是分饼、剪丝带、做信封，还是求速度、都是基于生活实际出发，但教材给予的推导思路都是“空降式”类推，也是大多数学生自己想不到的，不是自己“生长”的结果。

      继续进行资料的查阅，相信如此难懂的教学思路，定会有突破它的研究团队。很幸运查阅到数学特级教师张宏伟的突破方法，至少我之前从未见过的。个人认为，他的研究思路比所有版本的教材提供的思路更容易被学生接受，当然，具体效果如何，只有尝试后才可下定论。现分享如下：

      设计环节共分为四个模块。

模块一：算法畅想。

      自己想办法尝试计算下面各题的结果，你能想到多少种不同的算法？

      此环节，孩子通过提前预览教材、父母教学，以及通过其他途径“知道”除以一个分数可以变成乘以这个数的倒数来计算，但是不能解释为什么可以这样算。

模块二：发现规律，找到证明工具。

      激励性过渡导语：完成下面的这个“发现”项目，你就能解释为什么“除以一个分数可以变成乘以这个数的倒数”。

    1.下面的题目除了按照从左到右的顺序外，你还可以怎样计算？

      2.你有什么发现？（先乘后除的混合运算，可以先除后乘，结果不变）。

    3.自己再举几个例子试一试。

    4．变式应用

        教学中，学生都能正确转化成乘法进行计算，并能条理正确地解释和阐述自己的推到过程：

      14÷0.5=14×2，因为14÷0.5=14×1÷0.5=14×（1÷0.5）=14×2

      31÷0.1=31×10，因为31÷0.1=31×1÷0.1=31×（1÷0.1）=31×10

      1.1÷0.2=1.1×5，因为    1.1÷0.2=1.1×1÷0.2=1.1×（1÷0.2）=1.1×5

模块三：证明一个数除以分数的统一算法。

        1.根据上一页你发现的规律想一想如果把1.1÷0.2，改成1.1÷任何数，你还可怎么算？

      3.思考：甲÷乙=？可以怎样算？（乙≠0）

        学生顺利完成自己的一般化的推理过程：甲÷乙=甲×1÷乙=甲×（1÷乙）=甲×乙数的倒数（乙≠0）

      模块四：自主研究或者自学其他推到方案。

      学生可以根据自己的情况自己选择完成拓展探究：尝试独立探索其他能证明：“甲÷乙=甲×乙数的倒数（乙≠0）”的方法。

      这样设计不仅归纳出“除以一个分数等于乘这个数的倒数”这一法则，而且真正打通了除法运算和倒数意义的内在关系。倒数的意义是“乘积是1的两个数互为倒数”，即“1除以任何不为零的数就得到这个数的倒数”，甲÷乙=甲×1÷乙=甲×（1÷乙）正是对学生前面学习倒数的真正充分的应用。加深了对倒数意义和学习价值的认识，体现数学本身的知识的内在联系与和谐之美。