2018年全国卷B题25

25.（20 分）一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在 平面内的截面如图所示∶中间是磁场区域，其边界与 轴垂直，宽度为 ，磁感应强度的大小为 ，方向垂直于 平面;磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为 ，电场强度的大小均为 ，方向均沿 轴正方向；、为条状区域边界上的两点，它们的连线与 轴平行。一带正电的粒子以某一速度从 点沿 轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从 点入射的速度从 点沿 轴正方向射出。不计重力。

（1）定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹;

（2）求该粒子从 点入射时速度的大小;

（3）若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与轴正方向的夹角为 ，求该粒子的比荷及其从 点运动到 点的时间。

2018年全国卷B题25

【分析】

本题中涉及3个过程，较为复杂。我们先作定性描述。

第1阶段：粒子在电场中运动

粒子在起点 处， 方向初速度为 ， 方向初速度非 。 方向受电场作作用； 方向受力为 . 所以，粒子在 方向作匀速直线运动； 方向作初速为 的匀加速直线运动。

在以上过程中， 方向速度分量不变，方向速度分量变大，速率变大，速度方向改变。粒子的能量增大。运动轨迹是抛物线，其对称轴是 轴。

第2阶段：粒子在磁场中运动

粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，作匀速圆周运动，速率不变，动能不变，方向改变。

在以上过程中，粒子运动轨迹是一段圆弧。最终离开磁场，进入电场。

第3阶段：在电场中运动

粒子离开磁场后，进入另一个电场。方向作匀速直线运动；方向作匀加速直线运动，加速度方向与速度方向相反。当粒子到达 点，其 方向速度分量为 ，方向速度分量与原始的速度分量相等。

粒子在到达 点前的轨迹也是抛物线，对称轴平行于 轴。

进一步分析，粒子在两个电场中运动， 方向的速度分量都是不变的。所以，在两个电场中的运动时间是相等的，粒子离开第一个电场的速度的 分量与进入第二电场时的速度的 分量大小相等、方向相反。所以，粒子的轨迹是一个轴对称图形，其对称轴就是 的垂直平分线。

在一号电场中，有以下公式可用：

（匀速直线运动）

（匀加速直线运动）

（牛顿第二定律、电场强度定义）

在磁场中，主要有以下物理学公式可用：

【解答第1问】

粒子在电场中的轨迹是抛物线，且对称轴平行于x轴。在磁场中的轨迹是一段圆弧。轨迹示意图如下。

带电粒子的轨迹示意图

【解答第2问】

如图所示，磁场中的粒子轨迹的圆心角的二分之一与弦和速度方向的夹角相等。

磁场中圆心角与弦

入射速度的两个分量

以上公式的物理内涵可以这样来理解：在比荷与磁感应强度不变的提前下，弦 的长度与粒子速度的 分量成正比，而与其速率无关。那么，粒子速度的 分量又与哪些量相关呢？

∴ 该粒子从 点入射时速度的大小

【解答第3问】

若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与轴正方向的夹角为 ，则上图中的 ,

粒子在磁场中的运动周期

圆心角为 , 所以磁场中的运动时间

粒子两个电场中的运动时间相等，

综上，粒子从 点运动到 点的时间 。

【提炼与提高】

高考是选拨性考试。在每一份考卷中，都会有几道「压轴题」。本题就是一个典型。

构造压轴题的一个常用方法，就是把多个过程整合在一个考题中。然后，选择几个相互间存在关联，但是联系不太直接的量，以其中某个量为待求量，另外一些量为已知量，要求考生根据已知量计算待求量。

在此，笔者结合自己的学习和教学经验谈谈应对压轴题的破解攻略。

『先定性，后定量』

这是一个通用性强的方法。对本题的定性分析，已经记录在 [分析] 一节。在前面的【分析】一节中，我们对本题进行了定性分析，将物理过程划分出3个阶段，并写出了每个阶段适用的公式。

『先把通用形式的公式写出来，再与具体的条件相结合』

这一条既是解题方法，也是应试技巧。遇到困难的题目，把公式写在纸上，可能就有了思路。在最不济的情况下，把通用的公式写在答题纸上，也能拿到一点分。

『自问自答导出联系』

『要了解公式的物理内涵』

『用函数思想分析物理问题』

自问自答，可以顺着物理过程提问，相当于小说中的“顺叙”写法，也可以用从关键点展开，好像“倒叙”、“插叙”写法。

倒叙分析示范

以本题为例，我们可以从关键阶段（洛伦兹力作用下的圆周运动）突破。

自问：粒子在磁场中的的 方向位移由什么因素决定？

自答：在进行几何分析后，我们得出了以下公式：

这个公式的物理内涵可以这样表述：粒子在洛伦兹力作用下作圆周运动，当粒子的 坐标等于入射点时，其 方向的位移（也就是图中的 距离 ）与其入射时的速度的 分量相关，而与其入射的速率无关。假如用数学上的映射符号来表示，就是：

「自问」： 方向的速度分量 由哪些量决定？

「问答」： 由加速度和在电场中的运动时间决定。也就是：

「自问」：电场中的运动时间 由哪些量决定？

「自答」： 是由粒子的 方向的速度分量，也就是初速决定。

把上面的几个公式串起来，就得到以下公式：

以上等式中，约分操作后，比荷就不再出现了。得到如下形式：

以上等式中，是待求量，其它都是已知量，于是解出结论。

函数思想是数学的重要思想。在数学中，我们经常会说：变量 随着变量 的改变而改变，变量 是变量 的一个函数。在物理学中，我们经常会说：某某物理量与某某物理量相关，也某某物理量无关。例如，

带电粒子在洛伦兹力下作圆周运动，其周期与比荷相关，也速率无关；其半径与比荷、速率相关。

应本题而言，前面的分析发现：弦 的长与入射速度的 分量相关，与入射速度的 分量无关。

压轴题为什么难？原因在于：它需要用到一些比较间接的联系，不是一眼就能看出来。有些时候，我们用所有相关的公式都写出来了，还是没有看出待求量和已知量之间有何联系。也就是卡住了。

在解题过程中，遇到这种卡住了的僵局，应当如何破局？有什么「窍门」呢？

笔者的回答是：题目所给的已知条件和待求量总是有限的，解题进入僵局，可以尝试一下，改变某个已知条件（或是待求量），看会有什么影响。

例如，在本题中，我们设想一下，电场的宽度由 变为 , 会有什么影响呢？

显然，粒子穿越电场的时间不同了，进入磁场时， 方向的速度分量仍是原来的值，但 方向的速度分量不同了，所以，在磁场中的轨迹也不同了。