度量拓扑中的其他概念

我们在度量拓扑中讨论之前定义的一些概念。

度量空间的子空间保持着与原空间相同的度量与拓扑：如果 $A$ 是拓扑空间 $X$ 的一个子空间， $d$ 是 $X$ 上的一个度量，那么将 $d$ 限制到 $A$ 上的函数 $d_A :A\times A\to \mathbb{R}$ 是 $A$ 上拓扑的度量。

豪斯多夫条件对于所有的度量拓扑都满足：如果 $x$ 和 $y$ 是度量空间 $(X,d)$ 中的不同的点，那么令 $\epsilon=d(x,y)/2$ ，由三角不等式即可得 $B_d(x,\epsilon)$ 和 $B_d(y,\epsilon)$ 不相交。

对于积拓扑而言，我们已经证明 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{R}^\omega$ 都是可度量化的；事实上，任意的可数个的可度量化空间的积空间都是可度量化的。

当我们考虑度量空间的连续函数的时候，我们将非常接近在微积分和分析学中的知识。首先，我们会将连续性的 $\epsilon-\delta$ 定义以及收敛序列定义推广到一般的度量空间。然后，我们想要考虑对于构造连续函数而言，在度量空间中额外有两个法则：第一个是对于连续实值函数进行四则运算，第二个是对一致收敛的连续函数取极限运算。

度量拓扑中连续函数的定义

首先，我们将连续性的 $\epsilon-\delta$ 定义推广到一般的度量空间。

定理：令 $f:X\to Y$ ，其中 $X$ 和 $Y$ 分别是可度量化的空间，其上的度量分别为 $d_X$ 和 $d_Y$ ，那么 $f$ 连续当且仅当对于任意 $x\in X$ 以及任意 $\epsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，满足 $d_X(x,y) < \delta \Rightarrow d_Y(f(x),f(y)) < \epsilon$

然后，我们考虑连续性的收敛序列定义。在分析学中我们学过，如果一个点在一个集合的闭包中，那么这个集合内一定存在一个点序列会收敛到该点。这个性质对于一般的拓扑空间不一定成立，但是对于度量空间成立。

引理（序列引理）：令 $X$ 为一个拓扑空间， $A\subset X$ ，则：

如果在 $A$ 中存在一个序列收敛到 $x$ ，那么 $x\in\overline{A}$

如果 $X$ 可度量化，则对于任意 $x\in \overline{A}$ ， $A$ 中存在一个序列收敛到 $x$

对于 1，假设 $x_n\to x,x_n\in A$ ，则对于任意 $x$ 的邻域 $U$ ，均包含无穷多个 $x_n \in U$ ，因此根据定理有 $x\in\overline{A}$ 。对于 2，假设 $X$ 可度量化且 $x\in\overline{A}$ ，令 $d$ 为 $X$ 的一个度量，取 $x_n\in A \cap B_d(x,1/n)$ ，则 $x_n\to x$ ，因为任取 $x$ 的一个邻域 $U$ ，都可以找到 $B_d (x,\epsilon)$ ，只要选取 $N>1/\epsilon$ ，那么 $x_i\in U,\forall~i\geq N$ 。

定理：令 $f:X\to Y$ ，则：

如果 $f$ 连续，则对于每个收敛序列 $x_n\to x$ ，有 $f(x_n)\to f(x)$

如果 $X$ 可度量化，且对于每个收敛序列 $x_n\to x$ ，有 $f(x_n)\to f(x)$ ，则 $f$ 连续

对于 1，考虑 $x_n\to x$ ，令 $V$ 是 $f(x)$ 的邻域，则 $f^{-1}(V)$ 是 $x$ 的一个邻域，则存在 $N>0$ ，使得 $x_n\in f^{-1}(V),\forall~i\geq N$ ，因此 $f(x_i)\in V,\forall~i\geq N$ ，故 $f(x_n)\to f(x)$ 。对于 2，令 $A\subset X$ 且 $x\in \overline{A}$ ，则由序列引理， $A$ 中存在一个序列 $x_n$ 使得 $x_n\to x$ ；根据假设， $f(x_n)\to f(x)$ ，再次使用序列引理可得 $f(x) \in \overline{f(A)}$ ，因此 $f(\overline{A})\subset \overline{f(A)}$ ；根据连续性等价定理可得 $f$ 连续。

在证明序列引理（以及上述定理）时，我们并没有完全用到 $X$ 是可度量化的空间的条件。事实上，我们只需要 $\{ B_d(x,1/n)~|~n\in \mathbb{Z}_+ \}$ 这个可数集。一个拓扑空间 $X$ 在点 $x$ 有可数基，如果存在 $x$ 的邻域构成的可数集合 $\{U_n\}$ ，使得对于任意包含 $x$ 的邻域 $U$ ，都包含至少一个 $U_n$ 。如果一个拓扑空间 $X$ 在每一点上都有可数基，那么称 $X$ 满足第一可数公理。

如果 $X$ 满足第一可数公理，那么对于序列引理的证明，我们可以抛弃度量空间下的 $\epsilon$ -球。事实上，如果 $X$ 在 $x$ 处有可数基 $\{U_n\}$ ，那么将 $B_d(x,1/n)$ 替换为 $B_n = U_1\cap U_2 \cap \cdots \cap U_n$ 我们同样可以完成对于序列引理的证明。

一个可度量化的空间必定满足第一可数公理，因为 $\{ B_d(x,1/n)~|~n\in \mathbb{Z}_+ \}$ 就是 $x$ 处的一个可数基。但是，满足第一可数公理的空间不一定是一个度量空间，细节会在后面解释。

度量拓扑中构造连续函数

引理：加法、减法、乘法运算是从 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的连续函数，除法运算是从 $\mathbb{R}\times (\mathbb{R}-\{0\})$ 到 $\mathbb{R}$ 的连续函数。

定理：如果 $X$ 是一个拓扑空间，且 $f,g:X\to\mathbb{R}$ 是两个连续函数，那么 $f+g,f-g,f\cdot g$ 都是连续函数；如果 $g(x)\neq 0,\forall~x$ ，那么 $f/g$ 连续。

证明该定理只需定义 $h:X\to \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 满足 $h(x)=f(x)\times g(x)$ ，由之前的定理可以得到 $h$ 是连续的，那么根据引理即可得上述定理成立。

接下来，我们定义一致收敛。

定义（一致收敛）：令 $f_n:X\to Y$ 是从 $X$ 到度量空间 $Y$ 的一个函数序列，令 $d$ 为定义在 $Y$ 上的度量。则序列 $(f_n)$ 一致收敛到函数 $f:X\to Y$ ，如果对于任意 $\epsilon>0$ ，存在正整数 $N$ 使得 $d(f_n(x),f(x)) <\epsilon,\forall~n>N~\&~\forall~x\in X$

一致收敛不仅取决于 $Y$ 上的拓扑，也取决于 $Y$ 上定义的度量 $d$ 。

定理（一致极限定理）：令 $f_n:X\to Y$ 是从拓扑空间 $X$ 到度量空间 $Y$ 的一个函数序列，如果 $(f_n)$ 一致收敛到 $f$ ，那么 $f$ 连续。

令 $V$ 是 $Y$ 的一个开集， $y_0=f(x_0)$ ，选定 $\epsilon>0$ 使得 $B_d(y_0,\epsilon)\in V$ 。根据一致收敛，可以选取 $N$ ，使得对于所有 $n\geq N$ 和 $x\in X$ ，有 $d(f_n(x),f(x)) < \epsilon/3$ 根据 $f_N$ 的连续性，我们可以选取 $x_0$ 的一个邻域 $U$ 使得 $f_N(U) = B_d(f_N(x_0),\epsilon/3)$ 则对于任意 $x\in U$ ，我们有 $\begin{cases} d(f(x),f_N(x)) < \epsilon/3 \\ d(f_N(x),f_N(x_0)) < \epsilon/3 \\ d(f_N(x_0),f(x_0)) < \epsilon / 3 \end{cases}$ 那么，根据三角不等式即有 $d(f(x),f(x_0))<\epsilon,\forall~x\in U$ 。因此，对于任意的 $x_0\in X$ 和在 $Y$ 中的开集 $V$ ，我们可以找到这个 $x_0\in U$ 使得 $f(U)\subset B(f(x_0),\epsilon)\subset V$ 根据连续性等价定理即可得 $f$ 连续。

一致收敛和一致度量是联系在一起的。考虑由所有的函数 $f:X\to \mathbb{R}$ 构成的空间 $\mathbb{R}^X$ ，在 $\mathbb{R}^X$ 上定义一致度量 $\overline{\rho}$ ，不难看出：函数序列 $(f_n)$ 一致收敛到 $f$ 当且仅当在度量空间 $(\mathbb{R}^X,\overline{\rho})$ 上 $(f_n)$ 作为点收敛到 $f$ 。

不可度量化的空间

$\mathbb{R}^\omega$ 加上箱拓扑的拓扑空间是不可度量化的。我们可以构造例子使序列引理失效。令 $A = \big\{ (x_1,x_2,\cdots)~|~ x_i>0,\forall~i\in\mathbb{Z}_+ \big\}$ 在箱拓扑中， $\mathbf{0}\in \overline{A}$ ，因为如果 $B = (a_1,b_1) \times (a_2,b_2) \times \cdots$ 是包含 $\mathbf{0}$ 的基元素，那么 $B$ 和 $A$ 相交，因为 $(\frac{1}{2}b_1,\frac{1}{2}b_2,\cdots) \in A\cap B$ 。但是，不存在 $A$ 中的点序列收敛到 $\mathbf{0}$ 。设 $(a_n)$ 为 $A$ 中的序列，其中 $a_n = (x_{1,n},x_{2n},\cdots,x_{in},\cdots)$ 则每个 $x_{in}>0$ ，那么我们可以构造一个基元素 $B'$ 如下 $B' = (-x_{11},x_{11})\times (-x_{22},x_{22}) \times \cdots$ 那么 $\mathbf{0}\in B'$ ，但是 $B'$ 不含有序列 $(a_n)$ 中的点。因此， $(a_n)$ 不会收敛到 $\mathbf{0}$ 。

若 $J$ 不可数，则 $\mathbb{R}^J$ 加上积拓扑的拓扑空间是不可度量化的。我们可以构造例子使序列引理失效。令 $A$ 是 $\mathbb{R}^J$ 的一个子集，它由所有形如 $(x_\alpha)$ 的点组成，其中 $x_\alpha\neq 1$ 仅对有限个 $\alpha$ 成立（换言之，其余无限多个 $\alpha$ 都满足 $x_\alpha=1$ ），则有

$\mathbf{0}\in\overline{A}$ 。事实上，令 $\prod U_\alpha$ 是包含 $\mathbf{0}$ 的一个基元素，那么 $U_\alpha\neq \mathbb{R}$ 仅对有限个 $\alpha$ 成立，记这些指标为 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ ；令 $(x_\alpha)\in A$ ，其中 $x_\alpha=0$ 对 $\alpha=\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 成立， $x_\alpha=1$ 对其余 $\alpha$ 成立，那么 $(x_\alpha)\in A \cap \prod U_\alpha$
不存在 $A$ 中的序列收敛到 $\mathbf{0}$ 。令 $(\mathbf{a}_n)$ 为 $A$ 中的一个点序列， $J_n$ 为 $\mathbf{a}_n$ 中不为 $1$ 的坐标组成的集合，则 $J_n$ 是一个可数的有限集合。但是由于 $J$ 是不可数集，则必定存在 $\beta\in J$ ，使得 $\beta\notin \bigcup J_n$ 。令 $U_\beta=(-1,1)$ ， $U=\pi^{-1}_\beta(U_\beta)$ ，则 $U$ 是 $\mathbf{0}$ 的一个邻域，但是不包含 $(\mathbf{a}_n)$ 中任意的点；因此， $(\mathbf{a}_n)$ 不收敛到 $\mathbf{0}$ 。