Klein-Gordon方程

这节主要介绍Klein-Gordon方程，并从Maxwell方程组中得到无质量的自由光子满足的方程，从而得到光子的极化矢量。

Klein-Gordon方程也是描述相对论性粒子的波函数方程，与Dirac方程不同的是Klein-Gordon方程是描述自旋为 $0$ 的玻色子波函数随时间演化的相对论性波动方程。经典电动力学指出电磁场满足Maxwell方程组，并从中推导出电磁波。从Maxwell方程组出发得到自由光子的相对论性波动方程，并得到极化矢量。

Klein-Gordon方程

与得到Dirac方程的方法相近，从质壳方程（ $p_\mu p^\mu = m^2c^2$ ）和对应关系（ $p_\mu\to i\hbar\partial_\mu$ ）可以得到Klein-Gordon方程： $-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}+\nabla^2\psi=(\frac{mc}{\hbar})^2\psi$

定义： $\Box \equiv \partial^\mu \partial_\mu=\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla ^{2}$ ，得到Klein-Gordon方程更加简洁的表示为： $(\Box+\frac{m^2c^2}{\hbar^2})\psi=0$

上式描述的是有质量玻色子满足的相对论性波动方程。

Maxwell方程组和光子极化矢量

经典电动力学中描述电磁场的方程是Maxwell方程组： $\left\{ \begin{array}\ \boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol E=4\pi\rho\\ \boldsymbol\nabla\times\boldsymbol E+\frac{1}{c}\frac{\partial\boldsymbol B}{\partial t}=\boldsymbol 0\\ \boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0\\ \boldsymbol\nabla\times\boldsymbol{B}-\frac{1}{c}\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}=\frac{4\pi}{c}\boldsymbol{J} \end{array}\right.$

其中 $\boldsymbol{E}$ 为电场强度， $\boldsymbol{B}$ 为磁感应强度， $\rho$ 为电荷密度， $\boldsymbol{J}$ 为电流密度。场强张量(field strength tensor) $F^{\mu\nu}$ 定义为：
$F^{\mu\nu}=\left( \begin{matrix} 1 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \\ \end{matrix} \right)$

以及定义四矢量 $J^\mu=(c\rho, \boldsymbol{J})$ ，可以将Maxwell方程组写成：
$\partial_\mu F^{\mu\nu}=\frac{4\pi}{c}J^\nu$

进一步定义 $A^\mu=(V, \boldsymbol{A})$ ，其中 $V$ 和 $\boldsymbol{A}$ 满足： $\boldsymbol{B}=\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol{A}$ ， $\boldsymbol{E}=-\boldsymbol\nabla V-\frac{1}{c}\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}$ 。于是得到： $F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu$
带入Maxwell方程组得到： $\partial_\mu\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu(\partial_\mu A^\mu)=\frac{4\pi}{c}J^\nu$

采用Lorentz条件： $\partial_\mu A^\mu=0$ ，得到： $\Box A^\mu=\frac{4\pi}{c}J^\mu$

同时选择Coulomb规范： $A^0=0$ ， $\boldsymbol\nabla\mathbf{A}=0$ 。最终得到： $\Box A^\mu=0$

对比Klein-Gordon方程得到这是一个自由的自旋为 $0$ 的无质量粒子的相对论性波动方程。同样寻求它的平面波解： $A^\mu(x)=ae^{-(i/\hbar)p\cdot x}\epsilon^\mu(p)$

其中 $p$ 为四动量， $\epsilon(p)$ 为极化矢量。带入方程即可求解。最后得到以下结论：

(1)Lorentz条件： $p^\mu\epsilon_\mu=0$ ；

(2)Coulomb规范： $\epsilon^0=0$ ， $\boldsymbol{\epsilon}\cdot\boldsymbol{p}=0$ ；

(3)右旋极化对应的极化矢量： $\mathbf{\epsilon}_+=-1/\sqrt{2}(1,i,0)$ ，左旋极化对应的极化矢量： $\mathbf{\epsilon}_-=1/\sqrt{2}(1,-i,0)$ 。

最后编辑于：2022.08.31 17:15:26

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